浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题15 二次函数的图象与性质（1）

试卷更新日期：2022-08-14 类型：二轮复习

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一、单选题

1. 二次函数y=（x-1）²+3图象的顶点坐标是（）

A、(1，3) B、（1，-3) C、（-1，3） D、（-1，-3）

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2. 如图，二次函数y=ax²+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若抛物线 $y = x^{2} + a x + b$ 与 $x$ 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ ，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）

A、 $(- 3 ， - 6)$ B、 $(- 3 ， 0)$ C、 $(- 3 ， - 5)$ D、 $(- 3 ， - 1)$

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4. 四位同学在研究函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （b，c是常数）时，甲发现当 $x = 1$ 时，函数有最小值；乙发现 $- 1$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 $x = 2$ 时， $y = 4$ ．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 若抛物线y=x²+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）

A、（-3，-6） B、（-3，0） C、（-3，-5） D、（-3，-1）

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6. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 2$ ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）

A、有最大值﹣1，有最小值﹣2 B、有最大值0，有最小值﹣1 C、有最大值7，有最小值﹣1 D、有最大值7，有最小值﹣2

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7. 已知a，b是非零实数， $| a | > | b |$ ，在同一平面直角坐标系中，二次函数y₁＝ax²＋bx与一次函数y₂＝ax＋b的大致图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 小飞研究二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} - m + 1$ ( $m$ 为常数)性质时如下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线 $y = - x + 1$ 上；②存在一个 $m$ 的值，使得函数图象的顶点与 $x$ 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 与点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在函数图象上，若 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} > 2 m$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；④当 $- 1 < x < 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m$ 的取值范围为 $m \geq 2$ 其中错误结论的序号是（）

A、① B、② C、③ D、④

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9. D在平面直角坐标系中，抛物线y=(x+5）（x-3）经变换后得到抛物线y=（x+3）（x-5），则这个变换可以是（）

A、向左平移2个单位 B、向右平移2个单位 C、向左平移8个单位 D、向右平移8个单位

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10. 二次函数y=x²的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）

A、向左平移2个单位，向下平移2个单位 B、向左平移1个单位，向上平移2个单位 C、向右平移1个单位，向下平移1个单位 D、向右平移2个单位，向上平移1个单位

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11. 已知(-3，y₁)，(-2，y₂)，(1，y₃)是抛物线y=-3x²-12x+m上的点，则（）

A、y₃<y₂<y₁ B、y₃<y₁<y₂ C、y₂<y₃<y₁ D、y₁<y₃<y₂

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12. 已知二次函数y=x²，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）

A、当n-m=1时，b-a有最小值 B、当n-m=1时，b-a有最大值 C、当b-a=1时，n-m无最小值 D、当b-a=1时，n-m有最大值

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13. 在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）

A、M=N-1或M=N+1 B、M=N-1或M=N+2 C、M=N或M=N+1 D、M=N或M=N-1

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二、填空题

14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax²+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax²（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是．

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三、解答题

15. 已知抛物线y=ax²+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．

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16. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x$ （a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C ， D在抛物线上．设A（t ， 0），当t=2时，AD=4．

(1)、求抛物线的函数表达式．

(2)、当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)、保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ， H ，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

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四、综合题

17. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1)，顺次输入点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的坐标，机器人能根据图2，绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的解析式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式.

(1)、 $P_{1} (4 ， 0)$ ， $P_{2} (0 ， 0)$ ， $P_{3} (6 ， 6)$ ；

(2)、 $P_{1} (0 ， 0)$ ， $P_{2} (4 ， 0)$ ， $P_{3} (6 ， 6)$ .

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18. 已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点（1，0），（0， $\frac{3}{2}$ ）。

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、将抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

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19. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 交 $x$ 轴正半轴于点A，直线 $y = 2 x$ 经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线 $x = 2$ ，交 $x$ 轴于点B．

(1)、求a，b的值．

(2)、P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为 $m$ ，△OBP的面积为S，记 $K = \frac{S}{m}$ ．求K关于 $m$ 的函数表达式及K的范围．

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20. 设二次函数 $y = a x^{2} + b x - (a + b)$ （a，b是常数，a≠0）

(1)、判断该二次函数图象与x轴交点的个数，说明理由．

(2)、若该二次函数的图象经过A（-1，4），B（0，-1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式；

(3)、若a+b<0，点P（2，m）（m>0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 6$ 的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．

(1)、求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；

(2)、把点B向上平移m个单位得点B₁ ．若点B₁向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B₂重合；若点B₁向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B₃重合．已知m＞0，n＞0，求m ， n的值．

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22. 已知抛物线y＝2x²-4x＋c与x轴有两个不同的交点.

(1)、求c的取值范围；

(2)、若抛物线y＝2x²-4x＋c经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m与n的大小，并说明理由.

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23. 如图，已知二次函数y=x²+ax+3的图象经过点P(-2，3）.

(1)、求a的值和图象的顶点坐标。

(2)、点Q（m，n)在该二次函数图象上.
①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.

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24. 已知抛物线y=ax²+bx+1经过点(1，-2)，(-2，13)。

(1)、求a，b的值。

(2)、若(5，y₁)，(m，y₂)是抛物线上不同的两点，且y₂=12-y₁ ，求m的值。

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25. 设二次函数y=（x-x₁）（x-x₂）（x₁ ， x₂是实数）。

(1)、甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x= $\frac{1}{2}$ 时，y=- $\frac{1}{2}$ ，若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.

(2)、写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x₁ ， x₂的代数式表示）.

(3)、已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m.n是实数）当0<x₁<x₂<1时，求证：0<mn< $\frac{1}{16}$ .

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26. 已知函数y=x²+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）

(1)、求b，c满足的关系式

(2)、设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式

(3)、若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值

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27. 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y= $- \frac{8}{3}$ x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（-2，0）。点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF。设点D的横坐标为m，EF²为l，请探究：

①线段EF长度是否有最小值。

②△BEF能否成为直角三角形。

小明尝试用“观察--猜想--验证--应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题。

(1)、小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2），请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别。

(2)、小明结合图1，发现应用二角形和函数知识能验证（1）中的猜想.请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值。

(3)、小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形。请你求出当△BEF为直角三角形时m的值。

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