高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第四节空间向量的应用（二）

试卷更新日期：2022-08-13 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形 $A B C D$ 为正方形，则下列结论正确的是（）

A、该八面体的体积为 $\frac{8}{3}$ B、该八面体的外接球的表面积为16π C、 $E$ 到平面 $A D F$ 的距离为 $\sqrt{3}$ D、 $E C$ 与 $B F$ 所成角为 $6 0^{∘}$

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2. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，则点A到平面PBC的距离为（）．

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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3. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $E$ 是 $C C_{1}$ 的中点，则直线 $B C$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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二、多选题

4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（）

A、当N为棱 $A A_{1}$ 中点时， $M N ∥ B_{1} D$ B、当N为棱 $A A_{1}$ 中点时，MN与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成角为30° C、有且仅有三个点N，使得 $B_{1} N / /$ 平面 $A M D_{1}$ D、有且仅有四个点N，使得MN与 $B_{1} C$ 所成角为60°

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5. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则（）

A、 $A D_{1} ⊥ B D$ B、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、三棱锥 $D - A B D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、点 $B_{1}$ 到直线 $C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、解答题

6. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $C D E F$ ，四边形 $C D E F$ 为菱形， $∠ D C F = \frac{π}{3}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D ， A B ⊥ B C ， B C = C D = 2 A B ， H$ 为 $C F$ 的中点.

(1)、证明： $B E ⊥ D F$ .

(2)、若多面体 $A B C D E F$ 的体积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ，求点 $H$ 到平面 $A D E$ 的距离.

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7. 如图， $A B$ 是半球的直径， $O$ 为球心， $A B = 4 ， M ， N$ 依次是半圆 $\overset{⌢}{A B}$ 上的两个三等分点， $P$ 是半球面上一点，且 $P N ⊥ M B$ ，

(1)、证明：平面 $P B M ⊥$ 平面 $P O N$ ；

(2)、若点 $P$ 在底面圆内的射影恰在 $B M$ 上，求二面角 $A - P B - N$ 的余弦值．

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8. 如图，在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 中， $A B$ 是圆 $O_{2}$ 的直径， $C D$ 和 $E F$ 分别是圆柱轴截面上的母线.

(1)、证明： $O_{1} D / /$ 平面 $A B F$ ；

(2)、若 $D E = E F = 4$ ， $A F = B F$ ，证明 $A B ⊥$ 平面 $C D E F$ ，并求点 $D$ 到平面 $A B F$ 的距离.

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9. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为棱 $P D$ 的中点， $F$ 是线段 $P C$ 上一动点.

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求二面角 $F - E A - D$ 的余弦值.

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10. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面ABCD为等腰梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $S A ⊥$ 面ABCD， $S A = A D = 2 B C = 2$ ，点F为线段SD中点

(1)、求证： $C F ∥$ 面SAB；

(2)、求异面直线FC与BD所成角的大小．

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11. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = 120 °$ ．

(1)、求点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离；

(2)、①求二面角 $B - A_{1} D - A$ 大小．
②求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的大小．

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12. 如图，在四棱锥 $P — A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A B 丄 A C$ ， $P A$ 丄平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = 3$ ， $A C = 2$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求直线 $C E$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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13. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，M，N分别为PB，PD的中点，底面ABCD为正方形，且 $A B = 4$ ．

(1)、若 $P A = A B$ ，证明： $P C ⊥$ 平面AMN．

(2)、若平面MNA与底面ABCD所成锐二面角的大小为45°，求PC的长．

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14. 已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别是棱 $B C ， C C_{1} ， B_{1} B$ 的中点．

(1)、证明： $D_{1} G$ 与平面 $A E F$ 不平行；

(2)、求直线 $A_{1} D$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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15. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = A B = 4 ， P B = 4 \sqrt{2} ， ∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $P C$ 的中点，求直线 $B M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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16. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是梯形， $A D / / B C$ ， $D A ⊥$ 侧面 $P A B$ ， $P A = P B$ ， $D A = A B = 2 B C = 2$ ， $E$ 是线段 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $P E ⊥ C D$ ；

(2)、若 $P C ⊥ P A$ ，求平面PAD与平面PED所成二面角的正弦值．

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17. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $D A ⊥$ 平面 $P A B$ ， E是 $D A$ 的中点．

(1)、若 $P B$ 的中点是M，求证： $E M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $P A ⊥ P B ， P A = A D = 2 ， A B = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P C E$ 与平面 $P A B$ 所成二面角的正弦值．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥ B C$ ， $A B ⊥$ 平面 $P B C$ ， $A G = G C$ ， $P D = D A$ .

(1)、求证：平面 $B D G ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $A B = B C = C P = 2$ ，求平面 $A B D$ 与平面 $C B D$ 的夹角大小.

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高中数学人教A版（2019）选择性必修一 第一章 第四节 空间向量的应用（二）

一、单选题

二、多选题

三、解答题

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