高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第四节空间向量的应用（一）

试卷更新日期：2022-08-13 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ 为平面 $α$ 的一个法向量， $A (1 ， 0 ， 0)$ 为 $α$ 内的一点，则点 $D (1 ， 1 ， 2)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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二、多选题

2. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1 ， B C = \sqrt{2} ， ∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， P为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、点A到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、平面 $A_{1} P C$ 与底面ABC的交线平行于 $A_{1} P$ C、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积为16π D、二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小为 $\frac{π}{4}$

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三、解答题

3. 《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”，已知在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ .

(1)、求证：四面体 $P - A B C$ 为“鳖臑”；

(2)、若 $P A = 2$ ， $∠ B A C = \frac{π}{4}$ ，当二面角 $A - P C - B$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ 时，求 $A B$ 的长度.

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4. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的菱形， $∠ B C D = 60 °$ ，
E是CD的中点，PA⊥底面ABCD， $P A = \sqrt{3}$ ．
（I）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（II）求二面角A—BE—P和的大小．

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5. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A B$ ， $△ A B C$ 均为等边三角形， $P A = 4$ ， O为AB中点，点D在AC上，满足 $A D = 1$ ，且面 $P A B ⊥$ 面ABC．

(1)、证明： $D C ⊥$ 面POD；

(2)、若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得 $E F ∥$ 面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．

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6. 如图，AB是 $⊙$ O的直径，PA垂直于 $⊙$ O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点，E，F分别是线段PB，PC的中点， $A B = 10 ， P C = 12 ， ∠ A P C = 3 0^{∘}$ .

(1)、求证：BC $∥$ 平面AEF；

(2)、求点P到平面AEF的距离.

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7. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，E分别是 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = 2$ ， $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $D C_{1} ⊥ B D$ .

(1)、求证： $A_{1} E / /$ 平面 $C_{1} B D$ ；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $C_{1} B D$ 的距离.

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8. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D E$ ，四边形 $B C D E$ 是边长为2的菱形， $A B = 4$ ， $A B ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $A D ⊥ C E$ ；

(2)、若 $∠ B C D = 60 °$ ，求平面 $A B E$ 与平面 $A C D$ 夹角的余弦值．

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9. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面是以 $O$ 为中心的菱形， $A B = 4 ， ∠ B A D = 6 0^{∘}$ ， $P O ⊥$ 底面 $A B C D ， M$ 为 $B C$ 上一点，且 $B M = 1 ， M P ⊥ A P$ .

(1)、求PO的长；

(2)、求二面角 $A - P M - B$ 的余弦值.

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10. 如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $D D_{1}$ ， $D B$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ ；

(2)、求平面 $B C_{1} E$ 和平面 $B C_{1} D$ 的夹角的余弦值.

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11. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M ， N$ 分别是 $P B ， A C$ 的中点，且 $M N ⊥ A C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、若 $P A = 4 ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A M C$ 夹角的余弦值.

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12. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 在线段 $P D$ 上.

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 的中点，证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、若 $P A = 2$ ， $P D = 2 A B = 4$ ，若二面角 $E - A C - B$ 的大小为 $\frac{5 π}{6}$ ，试求 $P E ： E D$ 的值.

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13. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D为AB的中点， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ．

(1)、求证：平面 $A_{1} C D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点A到平面 $A_{1} C D$ 的距离．

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14. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面ABC， $B C = \sqrt{3} A C$ ， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， M是PA的中点.

(1)、证明： $P A ⊥ B C$ ；

(2)、若 $P C = A C$ ，求平面PBC与平面BCM所成角的大小.

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15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $E$ ， $F$ 分别是 $P C$ ， $A B$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $△ P A D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $A B = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P D$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值．

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，平面 $P B C ∩$ 平面 $P A D = l$ .

(1)、判断 $l$ 与 $B C$ 的位置关系并给予证明；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P A D$ 所成二面角的余弦值.

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17. 如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 3 A D = 3$ ， $C D = 2$ ，点F，Q分别为CD，PB的中点.

(1)、证明： $Q F ∥$ 平面PAD；

(2)、若 $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ， $P E ⊥$ 平面ABCD，AP与平面ABCD所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，求二面角 $E - P A - F$ 的余弦值.

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18. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面ABCD满足 $A D$ ∥BC，且 $A B = A D = A A_{1} = 2 ， B D = D C = 2 \sqrt{2} .$
(Ⅰ)求证： $A B ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；
(Ⅱ)求直线 $A B$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 所成角的正弦值.

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高中数学人教A版（2019）选择性必修一 第一章 第四节 空间向量的应用（一）

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二、多选题

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