高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第二节空间向量基本定理

试卷更新日期：2022-08-12 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 $\vec{B F} = 2 \vec{F C}$ ，记 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 分别为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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2. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M、N分别在线段OA、BC上，且 $2 O M = M A$ ， $C N = 2 N B$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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3. 如图，四面体 $O$ - $A B C$ ， $G$ 是底面△ $A B C$ 的重心， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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4. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ ， $- \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $4 \vec{b} - 2 \vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，可以作为空间向量一个基底的是（）

A、 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{A D}$ B、 $\vec{A B}$ ， $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A B_{1}}$ C、 $\vec{D_{1} A_{1}}$ ， $\vec{D_{1} C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} D}$ D、 $\vec{A C_{1}}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ， $\vec{C C_{1}}$

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6. 若向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 的起点与终点 $M$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ $O$ 是空间任一点），则能使向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{M A} \neq \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C}$ C、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ D、 $\overset{⇀}{M A} = 2 \overset{⇀}{M B} - \overset{⇀}{M C}$

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7. 已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 $\vec{a}$ = $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ ，向量 $\vec{b} =$ $\vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则不能与 $\vec{a}, \vec{b}$ 构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{O B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{O A}$ 或 $\vec{O B}$

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8. 若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）

A、 ${\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}}$ B、 ${\vec{b}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}}$ C、 ${\vec{c}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}}$ D、 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, 2 \vec{a} + \vec{b}}$

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9. 如图：在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1} ， B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{c}$ ，则向量 $\overset{⇀}{B M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$

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10. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，点D是棱AC的中点，若 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{B D}$ 等于（）

A、 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ C、 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$

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11. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，且 $\overset{⇀}{B F} = 2 \overset{⇀}{F E}$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$

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12. 若向量 $\vec{M A}$ 、 $\vec{M B}$ 、 $\vec{M C}$ 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量 $\vec{M A}$ 、 $\vec{M B}$ 、 $\vec{M C}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ B、 $\vec{M A} \neq \vec{M B} + \vec{M C}$ C、 $\vec{O M} = \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}$ D、 $\vec{M A} = 2 \vec{M B} - \vec{M C}$

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二、多选题

13. 以下四个命题中错误的是（）

A、空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间向量的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间向量的另一组基底 C、对空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，若 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} - 2 \vec{O B} - \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 D、任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

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三、填空题

14. 已知 $O$ 是空间任一点， $A, B, C, D$ 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 $\overset{⇀}{O A} = 2 x \cdot \overset{⇀}{B O} + 3 y \cdot \overset{⇀}{C O} + 4 z \cdot \overset{⇀}{D O}$ ，则 $2 x + 3 y + 4 z =$ .

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四、解答题

15. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $60 °$ .

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值.

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高中数学人教A版（2019） 选择性必修一 第一章 第二节 空间向量基本定理

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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