高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第一节空间向量及其运算（二）

试卷更新日期：2022-08-12 类型：同步测试

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一、单选题

1. 给出下列命题：
①若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；③若空间向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ 满足 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{p}$ ，则 $\vec{m} = \vec{p}$ ；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向.

其中假命题的个数是（）.

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为M．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a} ， \vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b} ， \vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $2 \vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ B、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 为相反向量，则 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} = \vec{0}$ C、零向量是没有方向的向量 D、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个单位向量，则 $\vec{a} = \vec{b}$

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4. 在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是CC₁的中点，F是A₁B的中点，且 $\overset{⇀}{D F} = α \overset{⇀}{A B} + β \overset{⇀}{A C}$ ，则（）

A、 $α = \frac{1}{2} ， β = - 1$ B、 $α = - \frac{1}{2} ， β = 1$ C、 $α = 1 ， β = - \frac{1}{2}$ D、 $α = - 1 ， β = \frac{1}{2}$

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5. 如图，在空间四边形 $O A B C$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 中点，点 $F$ 在 $O A$ 上，且 $\overset{⇀}{O F} = 2 \overset{⇀}{F A}$ ，则 $\overset{⇀}{E F}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ B、 $- \frac{2}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{O A} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$

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6. 空间四边形 $O A B C$ 中， $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\overset{⇀}{M N}$ =（）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ C、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} - \frac{2}{3} \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⇀}{a} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$

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7. 如图：在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1} ， B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\overset{⇀}{A B} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{A D} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{A A_{1}} = \overset{⇀}{c}$ ，则向量 $\overset{⇀}{B M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$

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8. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，点D是棱AC的中点，若 $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}$ ， $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，则 $\overset{⇀}{B D}$ 等于（）

A、 $\overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} - \overset{⇀}{c}$ B、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$ C、 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} + \overset{⇀}{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{c}$

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9. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $E$ 是 $C D$ 的中点，且 $\overset{⇀}{B F} = 2 \overset{⇀}{F E}$ ，则 $\overset{⇀}{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $- \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A D}$

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10. 如图，在底面 $ABCD$ 为平行四边形的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是AC与BD的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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11. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若 $\vec{P A} = \vec{a} ， \vec{P B} = \vec{b} ， \vec{P C} = \vec{c}$ ，，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{3}{2} \vec{c}$

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12. 已知空间四边形OABC， $M$ ，N分别是OA，BC的中点，且 $\overset{⇀}{OA} =a$ ， $\overset{⇀}{OB} = b$ ， $\vec{O C}$ =c，用a，b，c表示向量 $\vec{M N}$ 为（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ B、 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ C、 $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ D、 $- \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b - \frac{1}{2} c$

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二、填空题

13. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\overset{⇀}{C A} = \vec{a}, \overset{⇀}{C B} = \vec{b}, \overset{⇀}{C C_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\overset{⇀}{B A_{1}} =$ ．

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14. 如图，在空间四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 和 $B D$ 为对角线， $G$ 为 $Δ A B C$ 的重心 $E$ 是 $B D$ 上一点， $B E = 3 E D ，$ 以 $| \overset{⇀}{A B} ， \overset{⇀}{A C} ， \overset{⇀}{A D} |$ 为基底，则 $\overset{⇀}{G E} =$ ．

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三、解答题

15. 如图所示， $M$ 、 $N$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 的中点.试判断向量 $\vec{M N}$ 与向量 $\vec{A D}$ 、 $\vec{B C}$ 是否共面.

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16. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $60 °$ .

(1)、求 $A C_{1}$ 的长；

(2)、求异面直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 夹角的余弦值.

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