高中数学人教A版（2019）选择性必修一第一章第一节空间向量及其运算（一）

试卷更新日期：2022-08-12 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，E为OA的中点，点F在BC上，满足 $\vec{B F} = 2 \vec{F C}$ ，记 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 分别为 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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2. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，P为 $△ B C D$ 内一点，若 $S_{△ P B C} = 1$ ， $S_{△ P C D} = 2$ ， $S_{△ P B D} = 3$ ，则 $\vec{A P} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{6} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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3. 如图，在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M、N分别在线段OA、BC上，且 $2 O M = M A$ ， $C N = 2 N B$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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4. 如图，四面体 $O$ - $A B C$ ， $G$ 是底面△ $A B C$ 的重心， $\vec{O A} = \vec{a} ， \vec{O B} = \vec{b} ， \vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O G} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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5. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ ， $- \vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $4 \vec{b} - 2 \vec{a}$ ， $\vec{a} + \vec{c}$

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6. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，可以作为空间向量一个基底的是（）

A、 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{A D}$ B、 $\vec{A B}$ ， $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{A B_{1}}$ C、 $\vec{D_{1} A_{1}}$ ， $\vec{D_{1} C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} D}$ D、 $\vec{A C_{1}}$ ， $\vec{A_{1} C}$ ， $\vec{C C_{1}}$

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7. 已知空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若 $\vec{CP}$ =2 $\vec{CA} + \vec{CB}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{OP} = \vec{OA}$ +2 $\vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$ B、 $\vec{OP}$ =-2 $\vec{OA} - \vec{OB}$ +3 $\vec{OC}$ C、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -3 $\vec{OC}$ D、 $\vec{OP}$ =2 $\vec{OA} + \vec{OB}$ -2 $\vec{OC}$

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8. 若向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 的起点与终点 $M$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 互不重合且无三点共线，且满足下列关系（ $O$ 是空间任一点），则能使向量 $\overset{⇀}{M A}$ 、 $\overset{⇀}{M B}$ 、 $\overset{⇀}{M C}$ 成为空间一组基底的关系是（）

A、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{M A} \neq \overset{⇀}{M B} + \overset{⇀}{M C}$ C、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ D、 $\overset{⇀}{M A} = 2 \overset{⇀}{M B} - \overset{⇀}{M C}$

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9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列各式的运算结果为向量 $\vec{B_{1} D_{1}}$ 的是（）
① $\vec{A_{1} D_{1}} - \vec{A_{1} A} - \vec{A B}$ ；② $\vec{B C} + {\vec{B B}}_{1} - \vec{D_{1} C_{1}}$ ；③ $\vec{A D} - \vec{A B_{1}} + \vec{D D_{1}}$ ；④ $\vec{B_{1} D_{1}} - \vec{A A_{1}} + \vec{D D_{1}}$ ．

A、①② B、②③ C、③④ D、①④

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10. 空间任意四个点A、B、C、D，则 $\overset{⇀}{B A} + \overset{⇀}{C B} - \overset{⇀}{C D}$ 等于 ( ）

A、 $\overset{⇀}{D B}$ B、 $\overset{⇀}{A D}$ C、 $\overset{⇀}{D A}$ D、 $\overset{⇀}{A C}$

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11. 若 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）

A、 ${\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}}$ B、 ${\vec{b}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}}$ C、 ${\vec{c}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}}$ D、 ${\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}, 2 \vec{a} + \vec{b}}$

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12. 式子 $(\vec{A B} + \vec{M B}) + (\vec{B O} + \vec{B C}) + \vec{O M}$ 化简结果是（）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\vec{B C}$ D、 $\vec{A M}$

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13. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{C_{1} B} = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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二、多选题

14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则下列各式运算结果是 $\vec{A C_{1}}$ 的为（）.

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + {\vec{A A}}_{1}$ B、 $\vec{A A_{1}} + \vec{A_{1} B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$ C、 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C_{1}}$ D、 $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{C C_{1}}$

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三、填空题

15. 下列关于空间向量的命题中，
①若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 与空间任意向量都不能构成基底，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ ；

②若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则有 $\vec{a} / / \vec{c}$ ；

③若 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ ， $\vec{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\vec{O D} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点共面；

④若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ ，是空间一组基底，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 也是空间的一组基底．

上述命题中，正确的有．

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16. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $\vec{C A} = \vec{a} ，$ $\vec{C B} = \vec{b} ，$ ${\vec{C C}}_{1} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} B} =$ ．（用 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 表示）

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17. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为空间中任意四点，化简 $(\vec{A B} - \vec{C D}) - (\vec{A C} - \vec{B D}) =$ .

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18. 在空间四边形ABCD中，连接AC、BD，若 $△$ BCD是正三角形，且E为其中心，则 $\overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{B C} - \frac{3}{2} \overset{⇀}{D E} - \overset{⇀}{A D}$ 的化简结果为．

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19. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\overset{⇀}{A_{1} E} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{A_{1} C_{1}}$ ，若 $\overset{⇀}{A E} = x \overset{⇀}{A A_{1}} + y (\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D})$ ，则 $x =$ ， $y =$ ．

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20. 在正四面体O－ABC中， $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，D为BC的中点，E为AD的中点，则 $\overset{⇀}{O E}$ ＝(用 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}, \overset{⇀}{c}$ 表示)．

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