云南省宣威市2021-2022学年高二下学期数学期末学业水平检测试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ x (x - 5) < 0} ， B = {x ∣ 0 < x < 1}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B)$ 等于（）

A、 ${x ∣ 1 < x \leq 5}$ B、 ${x ∣ x \geq 1}$ C、 ${x ∣ x < 5}$ D、 ${x ∣ 1 \leq x < 5}$

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2. 若复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 + 3 i$ ，则复数 $z$ 的实部与虚部之和为（）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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3. 已知 $s i n α + c o s α = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. “ $m > 4$ ”是“函数 $f (x) = x + \frac{m}{x} (x > 0)$ 的最小值大于4”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为 $\frac{2}{3}$ ，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 $\frac{1}{9}$ ，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{27}$ D、 $\frac{22}{27}$

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6. 若过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交 $y$ 轴于点 $(0 ， 2 c)$ （ $c$ 为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 某校安排三个年级的课外活动，时间在周一至周五，要求每个年级只参加一次且每天至多安排一个年级且高三年级安排在另外两个年级的前面，则不同的安排方法共有（）

A、60种 B、40种 C、30种 D、20种

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8. 已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = 2 x^{2}$ ，则 $f (2023)$ 等于（）

A、-2 B、2 C、-98 D、98

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9. 已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是（）

A、这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B、把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C、把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第76个数据的平均数 D、把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个与第74个数据的平均数

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二、多选题

10. 已知圆 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 与直线 $x + m y - m - 2 = 0$ ，则（）

A、直线与圆必相交 B、直线与圆不一定相交 C、直线与圆相交所截的最短弦长为 $2 \sqrt{3}$ D、直线与圆可以相切

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11. “阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知 $A B = \sqrt{2}$ ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）

A、该半正多面体的体积为 $\frac{20}{3}$ B、该半正多面体过 $A ， B ， C$ 三点的截面面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、该半正多面体外接球的表面积为8π D、该半正多面体的顶点数 $V$ 、面数 $F$ 、棱数 $E$ 满足关系式 $V + F - E = 2$

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12. 已知函数 $f (x) = x (a - e^{- x})$ ，曲线 $y = f (x)$ 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的值可能是（）

A、 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $- \frac{1}{2 e^{2}}$ C、 $- \frac{1}{3 e^{2}}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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三、填空题

13. 写出一个与向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ 的夹角为 $4 5^{∘}$ 的向量 $\vec{b} =$ ．

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14. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，公比 $q < 0$ ．若 $\frac{S_{3}}{S_{2}} = \frac{7}{3}$ ，则 $q =$ ．

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15. 直线 $x = - \frac{3 π}{8} ， x = \frac{π}{8}$ 都是函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的对称轴，且函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{3 π}{8} ， \frac{π}{8}]$ 上单调递增，则函数 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) =$ ．

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16. 过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若 $\vec{C B} = 2 \vec{B F} ， | A F | = 3$ ，则此抛物线方程为．

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四、解答题

17. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $a c \sin B = 4 \sin A$ ，且 $\cos A = \frac{7}{8}$ .

(1)、求 $Δ A B C$ 的面积；

(2)、若 $a = \sqrt{10}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，有 $S_{10} = 55$ ， $S_{4} = 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{2} \leq T_{n} < 1$ .

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19. 如图所示， $A E ⊥$ 平面ABCD，四边形AEFB为矩形， $B C / / A D$ ， $B A ⊥ A D$ ， $A E = A D = 2 A B = 2 B C = 4$ ．

(1)、求证： $C F / /$ 平面ADE；

(2)、求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．

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20. 为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验．为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．
分数
$[50 ， 59)$
$[60 ， 69)$
$[70 ， 79)$
$[80 ， 89)$
$[90 ， 100]$
甲班频数
5
6
4
4
1
乙班频数
1
3
6
5
5
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + c) (b + d) (a + b) (c + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879

(1)、由以上统计数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并判断依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“成绩优良与教学方式有关”？

甲班
乙班
总计
成绩优良
成绩不优良
总计

(2)、现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望．

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21. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，上顶点为B，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， O是坐标原点，且 $| O B | \cdot | F B | = \sqrt{6}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x$ 与椭圆C在第一象限内的交点为P， $| P B | = | P O |$ ，直线BF与直线l的交点为Q，求 $△ B P Q$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + a (x + a)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $g (x) = f (x) + x^{2} + a x$ 的两个极值点，证明： $g (x_{2}) > x_{1}$ .

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分数	$[50 ， 59)$	$[60 ， 69)$	$[70 ， 79)$	$[80 ， 89)$	$[90 ， 100]$
甲班频数	5	6	4	4	1
乙班频数	1	3	6	5	5

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879

	甲班	乙班	总计
成绩优良
成绩不优良
总计