云南省丽江市2021-2022学年高二下学期数学期末教学质量监测试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $z = 1 - \sqrt{3} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} - 1} =$ （）

A、 $1 - \sqrt{3} i$ B、 $1 + \sqrt{3} i$ C、 $\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} i$ D、 $\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} i$

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2. 某中学有高中生960人，初中生480人．为了了解学生的身体状况，用比例分配的分层随机抽样方法，从该校学生中抽取容量为 $n$ 的样本，其中高中生有24人，那么 $n$ 等于（）

A、48 B、36 C、24 D、12

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3. 设全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ，集合 $A = {- 2 ， 1}$ ， $B = {x | x^{2} - x = 0}$ ，则 $A ∪ (C_{U} B) =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$

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4. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $t a n 2 α = \frac{c o s α}{2 - s i n α}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{x^{3}}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， m)$ ，则“ $m < 1$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是（）.

A、110 B、120 C、130 D、140

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8. 已知 $x ， y$ 为正实数，且 $x + 2 y = x y$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$ ，各成员的支付方式相互独立，设 $X$ 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， $D (X) = 2.4$ ，且 $P (X = 4) < P (X = 6)$ ，则 $E (X) =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ，则不等式 $f (x - 1) > 2$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 0)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) ∪ （ 2 ， + \infty ）$

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11. 直线 $x + y - 2 = 0$ 分别与x轴，y轴交于 $A ， B$ 两点，点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 = 0$ ，则 $△ P A B$ 面积的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ B、 $[2 \sqrt{2} ， 3 \sqrt{2}]$ C、 $[2 ， 6]$ D、 $[4 ， 12]$

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12. 若 $2^{a} + \log_{2} a = 4^{b} + 2 \log_{4} b$ ，则（）

A、 $a > 2 b$ B、 $a < 2 b$ C、 $a > b^{2}$ D、 $a < b^{2}$

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二、填空题

13. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为 $6 0^{°}$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ ．

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14. ${(x + 2)}^{4}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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15. 已知曲线 $f (x) = (x + a) e^{x}$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线与直线 $2 x + y - 1 = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为．

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16. 如图， $D$ 是正方体的一个“直角尖” $O - A B C$ （ $O A ， O B ， O C$ 两两垂直且相等）棱 $O B$ 的中点， $P$ 是 $B C$ 中点， $Q$ 是 $A D$ 上的一个动点，连接 $P Q$ ，则当 $A C$ 与 $P Q$ 所成角为最小时， $Q D ： A Q =$ ．

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三、解答题

17. 已知递增的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{3} = 10$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{4}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. △ABC的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $(s i n A - s i n B)^{2} = s i n^{2} C - s i n A s i n B$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $b + \sqrt{2} c = 2 a$ ，求 $s i n A$ ．

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19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝ $\sqrt{10}$ ．

(1)、求证：PC∥平面BMD；

(2)、求二面角M－BD－P的大小．

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20. 某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， …， $[90 ， 100]$ 后，画出如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：

(1)、求成绩落在 $[70 ， 80)$ 上的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、估计这次考试的平均分，中位数和众数；

(3)、为调查某项指标，从成绩在 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ 分数段组的学生中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中选2人进行对比，求选出的这2名学生来自同一分数段的概率.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $P (- 2 ， 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若 $A ， B$ 是 $C$ 上两点，直线 $A B$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 相切，求 $| A B |$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性，并求出极值；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{3} + 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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