云南省红河州2021-2022学年高二下学期数学学业质量监测试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $B = {x | 1 < x < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${2 ， 3}$ B、 $(2 ， 3)$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、{3}

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2. 已知复数 $z = 3 + i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{i}$ （ $\bar{z}$ 为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 蒙自某石榴园种植软籽石榴、水晶石榴，面积相等的两块果园（种植环境相同）连续5次的产量如下：

软籽石榴/ $k g$	260	250	210	250	280
水晶石榴/ $k g$	220	260	230	250	290

则下列说法中不正确的是（）

A、软籽石榴产量的众数为250 B、软籽石榴产量的方差小于水晶石榴产量的方差 C、水晶石榴产量的极差为70 D、软籽石榴产量的平均数大于水晶石榴产量的平均数

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4. 函数 $f (x) = \frac{2 s i n x}{| x | + 2}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3 ， B C = 4$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 6$ ，则 $∠ A B C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动，则选中的2人都是男生的概率为（）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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7. 已知点A，B分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右、上顶点，过椭圆C上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为左焦点 $F_{1}$ ，且 $A B ∥ O P$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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8. 已知定义域为R的函数满足 $f (x - 1) = f (1 - x)$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减，若 $a = f (l n \frac{1}{4})$ ， $b = f (e^{- \frac{2}{3}})$ ， $c = f (e^{- \frac{3}{2}})$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x + \frac{π}{6})$ 的图象关于y轴对称 C、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递增 D、 $x = - \frac{π}{3}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴

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10. 已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点 $A (\sqrt{5} ， 1)$ ，则（）

A、双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 B、双曲线C的虚轴长为2 C、双曲线C的两条渐近线互相垂直 D、 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线C的两个焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则 $△ P F_{1} Q$ 的周长为8

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E，F，G分别为 $B C ， C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $D D_{1}$ 与直线 $A F$ 垂直 B、直线 $A_{1} G$ 与平面 $A E F$ 平行 C、直线 $A F$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、直线 $A_{1} G$ 与直线 $A E$ 所成角的余弦值为 $\frac{4}{5}$

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12. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} + l n x - x$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有且仅有一个零点 B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 C、若 $f (x) \geq a$ 恒成立，则 $a \in (- ∞ ， e - 1]$ D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 1$

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三、填空题

13. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9} = 90$ ，则 $a_{2} + a_{8} =$ ．

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14. ${(x + \frac{3}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（用数字作答）．

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15. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为 $9 \sqrt{2} π$ ，则该圆锥的体积为．

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16. 已知点 $A (1 ， 5) ， B (9 ， 5) ， C (0 ， 2) ， D (4 ， 0)$ ，动点 $M$ 满足 $M A ⊥ M B$ ，点 $P$ 为动点 $M$ 轨迹上的一点，当 $∠ P C D$ 最小时， $| P C | =$ ．

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，已知 $S_{n} + 2 = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、写出 $a_{1} ， a_{2}$ ，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a s i n 2 B = b s i n (B + C)$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求b的最小值．

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19. 眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某中学为了解高二年级学生的视力情况，在“全国爱眼日”前，从高二年级学生中随机抽取男生、女生各50人进行视力检查，整理数据得到如下列联表：

视力不低于5.0
视力低于5.0
合计
男生
35
女生
10
合计
附：（ $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、将 $2 \times 2$ 列联表补充完整；

(2)、根据（1）中的列联表，判断是否有90%的把握认为“视力情况与性别有关”？

(3)、若“视力不低于5.0”为“良好”，将频率视作概率，从全年级学生中任意选3人，记3人中视力良好的人数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A B$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 ° ， P C = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设Q为 $P D$ 中点，求二面角 $Q - B C - D$ 的正弦值．

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21. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为6，且点 $M$ 到x轴的距离为 $\sqrt{2} p$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设抛物线 $C$ 的准线与x轴的交点为点 $N$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，证明： $\frac{| P F |}{| Q F |} = \frac{| P N |}{| Q N |}$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = m x + x l n \frac{1}{x}$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线过点 $(2 ， 3)$ ，求m的值；

(2)、若 $m = 1$ ，已知 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $l n x_{1} + l n x_{2} < 0$ ．

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	视力不低于5.0	视力低于5.0	合计
男生		35
女生	10
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828