云南省楚雄州2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 4 ， - 2 ， 0 ， 2 ， 4}$ ， $N = {x | - 3 \leq x < 4}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 ${- 2 ， 0 ， 2}$ B、 ${- 4 ， 0 ， 2}$ C、 ${- 4 ， - 2 ， 0 ， 2}$ D、 ${- 2 ， 0 ， 2 ， 4}$

查看试题解析
2. 若 $1 + z = - \frac{1}{i}$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、0 B、2 C、-2 D、 $2 i$

查看试题解析
3. 若向量 $\vec{a} = (t ， t - 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2)$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、2 C、 $- \frac{3}{5}$ D、-2

查看试题解析
4. 已知圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ ，直线 $l$ 过点 $P (2 ， 3)$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，若点 $Р$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 3 y - 11 = 0$ B、 $3 x + y - 9 = 0$ C、 $x - 3 y + 7 = 0$ D、 $3 x - y - 3 = 0$

查看试题解析
5. 已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的平均值为2，方差为1，若数据 $a x_{1} + 1$ ， $a x_{2} + 1$ ， …， $a x_{n} + 1 (a > 0)$ 的平均值为 $b$ ，方差为4，则 $b =$ （）.

A、5 B、4 C、3 D、2

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{1 + e^{x}}) \cos x$ 的图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知命题 $p ： \frac{x + 3}{x - 1} > 0$ ，命题 $q ： - 3 < x \leq 2$ ，则 $\neg p$ 是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = l o g_{\frac{1}{4}} x$ 的图象关于 $x$ 轴对称，则不等式 $f (3 x) < f (2 x + 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， 1)$

查看试题解析
9. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) + 2 s i n ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上的值域为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3}]$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$

查看试题解析
10. 已知圆锥的底面直径为2，下列说法错误的是（）

A、若圆锥的轴截面为直角三角形，则该圆锥的体积为 $\frac{π}{3}$ B、若圆锥的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积为 $2 π$ C、若圆锥外接球的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该圆锥的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{9} π$ D、若圆锥的高为1，则该圆锥内切球的表面积为 $(12 - 8 \sqrt{2}) π$

查看试题解析
11. 已知函数 $y = a - 2 l n x ， (\frac{1}{e} \leq x \leq e)$ 的图象上存在点 $M$ ，函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象上存在点 $N$ ，且 $M$ ， $N$ 关于 $x$ 轴对称，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 - e^{2} ， - 2]$ B、 $[- 3 - \frac{1}{e^{2}} ， + \infty]$ C、 $[- 3 - \frac{1}{e^{2}} ， - 2]$ D、 $[1 - e^{2} ， - 3 - \frac{1}{e^{2}}]$

查看试题解析
12. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心， $| F A |$ 为半径的圆交l于M，N两点．若 $∠ F M N = 60 °$ ，且 $△ A M N$ 的面积为24，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析

二、填空题

13. 已知 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n 2 x = \frac{2}{3} s i n x$ ，则 $c o s 2 x =$ .

查看试题解析
14. ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{4}$ 展开式中的常数项为．

查看试题解析
15. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长是虚轴长的2倍，则 $C$ 的离心率为.

查看试题解析
16. 在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C = B C$ ，点E，F分别为PC，PA的中点，设直线PB与平面DEF交于点Q，点G在BC上，若 $D Q ⊥ P G$ ，则 $\frac{B G}{B C} =$ .

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $a s i n (A + C) = b c o s (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 3 ， b + c = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = n^{2} + n$ ，数列 ${l o g_{2} b_{n}}$ 是公差为-1的等差数列， $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} + b_{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 为提升学生的身体素质，某地区对体育测试选拔赛试行改革．在高二一学年中举行4次全区选拔赛，学生如果在4次选拔赛中有2次成绩达到全区前20名即可取得体育特长生资格，不用参加剩余的比赛．规定：每个学生最多只能参加4次选拔比赛，若前3次选拔赛成绩都没有达到全区前20名，则不能参加第4次选拔赛．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$a$
0.15
0.10
0.05
0.010
$χ_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635

(1)、若该赛区某次选拔赛高二年级共有500名学生参加，统计出的参赛学生中男、女生成绩如下表：

前20名人数
第21至第500名人数
合计
男生
15
300
女生
195
合计
20
500
请完成上述2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为选拔赛成绩与性别有关．

(2)、假设某学生每次成绩达到全区前20名的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，每次选拔赛成绩能否达到全区前20名相互独立．如果该学生参加本年度的选拔赛（规则内不放弃比赛），记该学生参加选拔赛的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望．

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M ， N$ 分别是 $P B ， A C$ 的中点，且 $M N ⊥ A C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、若 $P A = 4 ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A M C$ 夹角的余弦值.

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与短轴的一个端点连线的倾斜角为 $3 0^{∘}$ ，直线 $y = \frac{1}{2}$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ 和 $Q$ 两点，且 $| P Q | = 2 \sqrt{3} ， O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，直线 $O A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $O B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{4}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的取值范围.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - a x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = e^{x} + c o s x - x - 2$ ．

(1)、当 $0 \leq a < 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设m，n为正数，且当 $a = 1$ 时， $f (m) = g (n)$ ，证明： $f (e^{- 2 n}) > g (- \frac{1}{2} l n m)$ ．

查看试题解析

	前20名人数	第21至第500名人数	合计
男生	15		300
女生		195
合计	20		500

$a$	0.15	0.10	0.05	0.010
$χ_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635