陕西省渭南市韩城市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的导数为2，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (1 + Δ x) - f (1)}{2 Δ x} =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、6

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2. 已知函数 $f (x) = s i n π x$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、-π B、0 C、π D、1

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3. 若复数 $z = (7 - a i) (1 + i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、-7 B、-5 C、7 D、5

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4. 设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 随机变量 $X$ 服从二项分布 $X ∼ B (n ， p)$ ，且 $E (X) = 400$ ， $D (X) = 300$ ，则 $p$ 等于（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则z的模为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7. 某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）

A、240种 B、288种 C、192种 D、216种

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8. 已知 $(i - 1) z = i$ ，复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）

A、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{3} < r_{1}$ B、 $r_{2} < r_{4} < 0 < r_{1} < r_{3}$ C、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{3} < r_{1}$ D、 $r_{4} < r_{2} < 0 < r_{1} < r_{3}$

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10. 已知实数 $a > b > 0$ ，则下列不等关系中错误的是（）

A、 $\frac{b}{a} < \frac{b + 4}{a + 4}$ B、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > \sqrt{a - b}$ C、 $a + \frac{1}{b} > b + \frac{1}{a}$ D、 $l g \frac{a + b}{2} > \frac{l g a + l g b}{2}$

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11. 设某车间的A类零件的质量m(单位： $kg$ )服从正态分布 $N (10 ， σ^{2})$ ，且 $P (m > 10.1) = 0.2$ .若从A类零件中随机选取100个，则零件质量在 $9.9 kg ~ 10.1 kg$ 的个数大约为（）

A、40 B、30 C、60 D、24

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12. 已知函数 $f (x) = x e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} + x + a$ ， $g (x) = x l n x + 1$ ，若存在 $x_{1} \in [- 2 ， 2]$ ，对任意 $x_{2} \in [\frac{1}{e^{2}} ， e]$ ，都有 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3 - \frac{1}{e} - 2 e^{2} ， e - 3 - 2 e^{2}]$ B、 $(- 3 - \frac{1}{e} - 2 e^{2} ， e - 3 - 2 e^{2})$ C、 $[e - 3 - 2 e^{2} ， \frac{3}{2}]$ D、 $(e - 3 - 2 e^{2} ， \frac{3}{2})$

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二、填空题

13. ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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14. 曲线 $f (x) = x^{2} + 3 x$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程为.

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15. 一家商场在举办抽奖活动，在抽奖箱中，一共有10张奖券，其中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为.

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16. 设函数f(x)在R上满足f(x)＋xf′(x)＞0，若a＝(3^0.3)f(3^0.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，则a与b的大小关系为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 2 |$ 的定义域为R．

(1)、当 $a = 5$ 时，求不等式 $f (x) > 9$ 的解集；

(2)、若关于x的不等式 $f (x) \geq 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按 $(0 ， 30]$ ， $(30 ， 60]$ ， $(60 ， 90]$ ， $(90 ， 120]$ ， $(120 ， 150]$ ， $(150 ， 180]$ 分成6组，得到如下频数分布表：
时间/分钟
$(0 ， 30]$
$(30 ， 60]$
$(60 ， 90]$
$(90 ， 120]$
$(120 ， 150]$
$(150 ， 180]$
频数
12
38
72
46
22
10
记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、完成下面的列联表；

非长时间使用电子产品
长时间使用电子产品
合计
患近视人数
100
未患近视人数
80
合计
200

(2)、判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．

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19. 某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）

(1)、如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？

(2)、如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + a$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 某企业的某产品在出厂前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知该产品第一轮检测不合格的概率为 $\frac{1}{6}$ ，第二轮检测不合格的概率为 $\frac{1}{10}$ ，两轮检测是否合格相互没有影响.

(1)、求该产品不能销售的概率；

(2)、如果该产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该产品不能销售，则每件产品亏损20元，已知一箱中有该产品4件，记一箱该产品获利X元，求X的分布列和期望.

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22. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + m$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对 $\forall x_{1} \in (0 ， + ∞)$ ， $\forall x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) > 4^{x_{2}} - 8^{x_{2}}$ ，求m的取值范围.

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时间/分钟	$(0 ， 30]$	$(30 ， 60]$	$(60 ， 90]$	$(90 ， 120]$	$(120 ， 150]$	$(150 ， 180]$
频数	12	38	72	46	22	10

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	非长时间使用电子产品	长时间使用电子产品	合计
患近视人数		100
未患近视人数			80
合计			200