陕西省渭南市富平县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数为 $f^{'} (x_{0})$ ，则 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{Δ x} =$ （）

A、 $2 f^{'} (x_{0})$ B、 $- 2 f^{^{'}} (x_{0})$ C、 $- \frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$ D、 $\frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$

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2. 两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数R如下，其中拟合效果最好的模型是（）

A、模型1的相关系数 $R = 0.15$ B、模型2的相关系数 $R = 0.85$ C、模型3的相关系数 $R = 0.25$ D、模型4的相关系数 $R = - 0.95$

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3. $C_{12}^{5} + C_{12}^{6}$ 等于（）

A、 $C_{13}^{5}$ B、 $C_{13}^{6}$ C、 $C_{13}^{11}$ D、 $C_{12}^{7}$

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4. 若复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $| z - i | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、5

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5. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 4) = 0.78$ ，则 $P (2 < ξ < 3) =$ （）

A、0.2 B、0.24 C、0.28 D、0.32

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6. 按照四川省疫情防控的统一安排部署，2021年国庆期间继续对某区12周岁及以上人群全面开展免费新冠疫苗接种工作．该区设置有 $A ， B ， C$ 三个接种点位，市民可以随机选择去任何一个点位接种，同时每个点位备有北京科兴与成都生物两种灭活新冠疫苗供市民选择，且只能选择一种．那么在这期间该区有接种意愿的人，完成一次疫苗接种的安排方法共有（）

A、5种 B、6种 C、8种 D、9种

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7. 设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件数，则 $P (X = 1) =$ （）

A、 $\frac{7}{15}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{7}{14}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰成就最为突出，被誉为“宋元数学四大家”．周老师将秦九韶的《数书九章》、李治的《测圆海镜》《益古演段》、杨辉的《详解九章算法》、朱世杰的《算学启蒙》《四元玉鉴》这六部著作平均分给班级的3个数学兴趣小组，则分配方式一共有（）

A、15种 B、60种 C、80种 D、90种

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9. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员.在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为（）

A、 $\frac{4}{11}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{43}{55}$ D、 $\frac{4}{7}$

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x + 3 f^{'} (0) \cdot e^{x}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、 $\frac{3}{2} e$ B、 $3 - 2 e$ C、 $2 - 3 e$ D、 $2 + 3 e$

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11. 某产品的广告费用 $x$ 与销售额 $y$ 的统计数据如下表：
广告费用 $x$ （万元）
4
2
3
5
销售额 $y$ （万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b}$ 为9.4，据此模型预报广告费用为7万元时销售额为（）

A、73万元 B、81.4万元 C、77.1万元 D、74.9万元

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12. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (- x)$ ，且当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) < 0$ 成立，若 $a = (2^{0.6}) \cdot f (2^{0.6})$ ， $b = (\ln 2) \cdot f (\ln 2)$ ， $c = (\log_{2} \frac{1}{8}) \cdot f (\log_{2} \frac{1}{8})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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二、填空题

13. 设 $x ， y \in R$ ，且 $(x + 2) - 2 x i = - 3 y + (y - 1) i$ ，则 $x + y =$ ．

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14. ${(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中第3项的系数为．

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15. 若f(x)＝ex－kx的极小值为0，则k＝．

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16. 已知偶函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x^{2} - \frac{3}{2} x) e^{x} ， 0 \leq x \leq \frac{3}{2} ， \\ x - 2 ， x > \frac{3}{2} ， \end{array}$ 若方程 $f (x) - m = 0$ 有且只有6个不相等的实数根，则实数m的取值范围为．

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三、解答题

17. 设复数 $z = (m - 1) + (m^{2} - 4 m - 5) i$ 和复平面内的点Z对应，若点Z的位置分别满足下列要求，求实数m满足的条件：

(1)、不在实轴上；

(2)、在虚轴右侧（不包括虚轴）．

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18. 为预防某种疾病发生，某团队研发一种药物进行提前干预，现进入临床试验阶段．为了考察这种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表：

患病
未患病
总计
服用药
未服用药
28
50
总计
34
120
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.025
0.010
0.005
0.001
k
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、请将上面的 $2 \times 2$ 列联表补充完整；

(2)、通过计算判断是否有99.5%的把握认为这种药物对预防疾病有效．

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 1]$ 上的最大值与最小值．

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20. 将五个不同的元素a，b，c，d，e排成一排．

(1)、a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？

(2)、a不排在首位，e不排在末位，有多少种排法？

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21. 某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为 $\frac{2}{3}$ ，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为 $\frac{1}{2}$ ，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为 $X$ 元，求 $X < 400$ 的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．

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22. 已知函数 $f (x) = x - m l n x (m \neq 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $e^{x - 1} - a x^{2} \geq - a x l n x$ 对任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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广告费用 $x$ （万元）	4	2	3	5
销售额 $y$ （万元）	49	26	39	54

$P (K^{2} \geq k)$	0.025	0.010	0.005	0.001
k	5.024	6.635	7.879	10.828

	患病	未患病	总计
服用药
未服用药		28	50
总计	34		120