陕西省渭南市白水县2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设函数f(x)在x=1处存在导数为2，则 $lim_{△ x \to 0} \frac{f (1 + △ x) - f (1)}{3 △ x}$ =（）

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、6

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2. 为比较相关变量的线性相关程度，5位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数 $r$ 如下表所示：

同学甲

同学乙

同学丙

同学丁

同学戊

相关系数 $r$

0.45

-0.69

0.74

-0.98

0.82

则由表可知（）

A、乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高 B、甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 C、乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高 D、甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高

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3. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（）

A、7 B、9 C、12 D、16

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4. 若 $z = i + 2 i^{2} + 3 i^{3}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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5. 已知y＝f（x）的图象如图所示，则f'（xA）与f'（xB）的大小关系是（）

A、f'（xA）＞f'（xB） B、f'（xA）＝f'（xB） C、f'（xA）＜f'（xB） D、f'（xA）与f'（xB）大小不能确定

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6. 复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 3 + 4 i$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的模等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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7. $(x + \frac{2}{x^{2}})^{5}$ 的展开式中 $x^{- 1}$ 的系数为（）

A、10 B、20 C、40 D、80

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8. 已知函数 $f (x) = 2 e \cdot f^{'} (e) \cdot l n x - \frac{x}{e}$ （ $e$ 是自然对数的底数），则 $f (e)$ 等于（）

A、 $e - 1$ B、 $\frac{2}{e} - 1$ C、1 D、 $\frac{1}{e} - 1$

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9. 已知随机变量X服从正态分布 $N (4 ， σ^{2})$ ，且 $P (3 \leq X \leq 5) = 0.86$ ，则 $P (X < 3) =$ （）

A、0.43 B、0.28 C、0.14 D、0.07

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10. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{^{'}} (x)$ 存在，且导函数 $f^{^{'}} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数.记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{^{'}}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数.以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是凸函数的有（）
① $f (x) = s i n x + c o s x$ ， ② $f (x) = - x e^{- x}$ ， ③ $f (x) = l n x - 2 x$ ， ④ $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ .

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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11. 第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（）．

A、42种 B、63种 C、96种 D、126种

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12. 设函数f(x)= $\frac{1}{2}$ x²-(a+1)x+alnx在(0，+∞)上有两个零点，则实数a的取值范围为（）

A、(-1，0) B、(- $\frac{1}{2}$ ， 0) C、(0，1) D、(0， $\frac{1}{2}$ )

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二、填空题

13. 直线 $ρ (3 c o s θ + 4 s i n θ) - 4 = 0$ 的直角坐标方程为.

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14. 已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9，超过12岁的概率为0.6，那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫的寿命超过12岁的概率为.

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15. 已知复数z与(z+2)²+8i都是纯虚数，则z=.

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{2}$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上的最大值为．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array} ，$ (t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+4cosθ+2sinθ=0.

(1)、求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与x轴的交点为M，求|MA|·|MB|.

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18. 某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{5}{6}$ .甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率.

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19. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：

(1)、物理和化学至少选一门的选法种数；

(2)、物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} c o s x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的极值.

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21. 在某次社会机构的招聘考试中，参加考试的文科大学生与理科大学生的人数比例为1：3，且成绩(单位：分)分布在[30，90]，为调研此次考试的整体状况，按文理科用分层抽样的方法抽取160人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，且规定70及其以上为优秀.
参考公式：K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n=a +b +c+d.
参考数据：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635

(1)、填写2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关；

文科生
理科生
合计
优秀
4
不优秀
合计
160

(2)、将上述调查所得频率视为概率，现从考生中任意抽取3名，记成绩优秀学生人数为X，求X的分布列与数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x}$ ， $g (x) = \frac{l n x + 2 x + 1}{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 2$ ，证明： $x f (x) \geq g (x)$ .

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	同学甲	同学乙	同学丙	同学丁	同学戊
相关系数 $r$	0.45	-0.69	0.74	-0.98	0.82

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635

	文科生	理科生	合计
优秀	4
不优秀
合计			160