陕西省商洛市2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x ∣ - 2 < x < 2} ， N = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 ⩾ 0}$ ，则 $M ∩ (∁_{R} N) =$ （）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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2. 若复数 $z$ 满足 $z i = 4 - 3 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - \sqrt{2}) ， \vec{b} = (2 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{2} + a_{4} = 14$ ，且 $a_{1} ， a_{2} ， a_{6}$ 成等比数列，则公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若圆锥的母线与底面所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，底面圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、π C、2π D、3π

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6. 世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
下列四个结论中错误的是（）

A、从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加 B、1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢 C、2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多 D、2050年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平

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7. 已知命题 $p ： \frac{x + 3}{x - 1} > 0$ ，命题 $q ： - 3 < x \leq 2$ ，则 $\neg p$ 是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{1 + e^{x}}) \cos x$ 的图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知函数 $f (x) = c o s (ω x + \frac{π}{6}) + 2 s i n ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，将函数 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则（）

A、 $g (x) = \sqrt{3} c o s 2 x$ B、 $g (x) = - \sqrt{3} c o s 2 x$ C、 $g (x) = \sqrt{3} s i n (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $g (x) = \sqrt{3} s i n 2 x$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - 3 x + 3 ， x < 0 \\ e^{- x} + 1 ， x \geq 0 \end{array}$ ，则不等式 $f (a) < f (3 a - 1)$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2})$

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11. 已知函数 $f (x) = l n x + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{a}{6} x (x > 0)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，若有且只有一个 $x_{0} \in [\frac{1}{2} ， 3]$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(15 ， 18]$ B、 $(15 ， 20]$ C、 $[15 ， 20)$ D、 $[15 ， 18)$

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12. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心， $| F A |$ 为半径的圆交l于M，N两点．若 $∠ F M N = 60 °$ ，且 $△ A M N$ 的面积为24，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、填空题

13. 在 $(1 - 2 x)^{6}$ 展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数是．

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14. 已知 $c o s α = - 2 s i n α$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的实轴长是虚轴长的3倍，则 $C$ 的离心率为．

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16. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} = 3$ ，过点 $A_{1}$ 作平面 $α$ 与 $A B ， A D$ 分别交于M，N两点，且 $A A_{1}$ 与平面 $α$ 所成的角为 $30 °$ ，给出下列说法：
①异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{6}{25}$ ；
② $A_{1} B / /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ ；
③点B到平面 $B_{1} C D_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{34}}{17}$ ；
④截面 $A_{1} M N$ 面积的最小值为6．
其中正确的是（请填写所有正确说法的编号）

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $a s i n (A + C) = b c o s (A - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 3 ， b + c = 5$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 随着奥密克戎的全球肆虐，防疫形势越来越严峻，防疫物资需求量急增．下表是某口罩厂今年的月份x与订单y（单位：万元）的几组对应数据：

月份x

1

2

3

4

5

订单y

$y_{1}$

$y_{2}$

$y_{3}$

$y_{4}$

$y_{4}$

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 175 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 608$ ．

参考公式：回归直线的方程是 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 ${\begin{cases} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} . \end{cases}$

(1)、求y关于x的线性回归方程，并估计该厂6月份的订单金额．

(2)、已知甲从该口罩厂随机购买了4箱口罩，该口罩厂质检过程中发现该批口罩的合格率为 $\frac{3}{4}$ ，不合格的产品需要更换，用X表示甲需要更换口罩的箱数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M ， N$ 分别是 $P B ， A C$ 的中点，且 $M N ⊥ A C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ .

(2)、若 $P A = 4 ， A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ，求平面 $P B C$ 与平面 $A M C$ 夹角的余弦值.

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°， $F_{1}$ 到直线l的距离为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的焦距；

(2)、若 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ ，求椭圆C的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1) - 1 ， f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、求不等式 $f^{'} (x) > \frac{1}{2 x^{2}}$ 的解集；

(2)、设函数 $g (x) = (x + 1) f (x) - \frac{1}{2} a x^{2} + 1$ ，若 $g (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在最大值，求实数a的取值范围．

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22. 已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 3 t ， \\ y = 3 + 4 t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $3 ρ^{2} + ρ^{2} s i n^{2} θ - 12 = 0$ ．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线C交于P，Q两点，点M的直角坐标为 $(- 1 ， - 1)$ ，求 $| | M P | - | M Q | |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x - 4 | - | x - 3 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) > 6$ 的解集；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - | x - 3 |$ 的最大值为 $M$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b} = M$ ，求 $a + 4 b$ 的最小值．

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月份x	1	2	3	4	5
订单y	$y_{1}$	$y_{2}$	$y_{3}$	$y_{4}$	$y_{4}$