陕西省安康市汉滨区七校联考2021-2022学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、1 C、5 D、 $\frac{3}{5}$

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2. 设m，n，t都是正数，则m＋ $\frac{4}{n}$ ， n＋ $\frac{4}{t}$ ， t＋ $\frac{4}{m}$ 三个数（）

A、都大于4 B、都小于4 C、至少有一个大于4 D、至少有一个不小于4

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3. 观察下列各式： $a + b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 3$ ， $a^{3} + b^{3} = 4$ ， $a^{4} + b^{4} = 7$ ， $a^{5} + b^{5} = 11$ ，则 $a^{10} + b^{10} =$ （）

A、121 B、123 C、231 D、211

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4. 下列说法错误的是（）

A、在回归直线方程 $\hat{y} = - 0.85 x + 2.3$ 中，y与x具有负线性相关关系 B、两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1 C、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.2 x - 0.8$ 中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量 $\hat{y}$ 平均增加0.2个单位 D、对分类变量 $X$ 与 $Y$ ，随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 越大，则判断“ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越小

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + c o s x$ ， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式二项式系数和为64，则展开式中常数项是（）

A、－8 B、4 C、30 D、60

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7. 若某射手每次射击中目标的概率为0.8，每次射击的结果都是相互独立，若该射手连续射击4次，随机变量 $X$ 表示击中目标的次数，则 $X$ 的标准差为（）

A、3.2 B、0.64 C、0.8 D、0.2

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8. 若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则（）

A、3f(1)<f(3) B、3f(1)>f(3) C、3f(1)＝f(3) D、f(1)＝f(3)

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9. 如图所示，由抛物线y²=x和直线x=1所围成的图形的面积等于（）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 某乡村旅游景点打造的民宿类型种数 $x$ 与年游客接待人数 $y$ （单位：万人）之间有如下对应数据：

$x$

2

4

5

6

8

$y$

30

40

$t$

50

70

根据上表，求出 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程为 $y = 6.5 x + 16.5$ ．则 $t$ 的值为（）

A、40 B、45 C、50 D、55

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11. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件 $A$ 表示选出的两种中至少有一药，事件 $B$ 表示选出的两种中有一方，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} + x - 2$ 的零点为a，函数 $g (x) = l n x + x - 2$ 的零点为b，则下列不等式中成立的是（）

A、 $a \cdot b > 1$ B、 $e^{a} + l n b < 2$ C、 $a^{2} + b^{2} < 3$ D、 $\frac{a^{2}}{b^{2}} > \frac{1}{4}$

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二、填空题

13. 已知x＞1，观察下列不等式：
$x + \frac{1}{x} > 2 ，$
$x^{2} + \frac{2}{x} > 3 ，$
$x^{3} + \frac{3}{x} > 4$
…
按此规律，第n个不等式为．

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14. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有个

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15. 已知函数 $f (x) = - a s i n x$ ，且 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{f (π + Δ x) - f (π)}{Δ x} = 2$ ，则实数a的值为．

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16. 已知多项式 $(x + 2) {(x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $f (x) = x^{3} + 2 a x^{2} + 9 x - 3$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f^{'} (3)$ ；

(2)、当 $a = 3$ ，求 $f (x)$ 的极值.

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18. 为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用五一假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在 $[30 ， 100]$ 范围内，规定分数在80分以上（含80分）的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如下图所示．

(1)、根据频率分布直方图计算所得分数的众数及中位数（中位数保留小数点后一位）

(2)、将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．

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19. 近年来，高铁的发展逐渐改变了人们的出行方式，我国2017～2021年高铁运营里程的数据如下表所示．
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码x
1
2
3
4
5
高铁运营里程y（万千米）
1.9
2.2
2.5
2.9
3.5
附：线性回归方程 $\hat{y}$ ＝ $\hat{b}$ x＋ $\hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b}$ ＝ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、若x与y具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)、每一年与前一年的高铁运营里程之差即为该年新增的里程，根据这五年的数据，若用2018～2021年每年新增里程的频率代替之后每年新增相应里程的概率，求2025年中国高铁运营里程大于或等于5万千米的概率．

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20. 已知两曲线 $f (x) = x^{3} + a x$ 和 $g (x) = x^{2} + b x + c$ 都经过点 $P (1 ， 2)$ ，且在点P处有公切线.

(1)、求 $a ， b ， c$ 的值；

(2)、求公切线所在的直线方程；

(3)、若抛物线 $g (x) = x^{2} + b x + c$ 上的点M到直线 $y = 3 x - 2$ 的距离最短，求点M的坐标和最短距离.

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21. 社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书.现在某书店随机抽取40名顾客进行调查，得到了如下列联表：

年长者
年轻人
总计
喜欢阅读电子书
16
20
喜欢阅读纸质书
8
总计
40
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.005
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879

(1)、请将上面的列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；

(2)、若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取4人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望.

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - a x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 无零点，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 有两个相异零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证； $x_{1} x_{2} > e^{2}$ ．

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年份	2017	2018	2019	2020	2021
年份代码x	1	2	3	4	5
高铁运营里程y（万千米）	1.9	2.2	2.5	2.9	3.5

	年长者	年轻人	总计
喜欢阅读电子书		16	20
喜欢阅读纸质书	8
总计			40

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879

$x$	2	4	5	6	8
$y$	30	40	$t$	50	70