山东省烟台市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x = 3 k ， k \in Z}$ ， $B = {x | x^{2} > 9}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B)$ =（）

A、{0} B、 ${- 3 ， 0 ， 3}$ C、 ${- 3 ， 3}$ D、 ${x | - 3 \leq x \leq 3}$

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2. 设命题 $P ： \forall x \in R$ . $x^{2} - x + 1 > 0$ .则 $\neg P$ （）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$

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3. 已知p： $x \in {x | y = \sqrt{2^{x} - 1}}$ ， q： $x \in {y | y = x^{- \frac{2}{3}}}$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 中国跳水队是中国体育奥运冠军团队．自1984年以来，中国跳水队已经累计为我国赢得了40枚奥运金牌．在一次高台跳水比赛中，若某运动员在跳水过程中其重心相对于水面的高度h（单位：米）与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 $h (t) = 10 - 5 t^{2} + 5 t$ ，则该运动员在起跳后1秒时的瞬时速度为（）

A、10米/秒 B、－10米/秒 C、5米/秒 D、－5米/秒

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5. 已知曲线 $y = e^{x}$ 在点（0，1）处的切线与曲线 $y = a x^{2} + 3 x + 3 (a \neq 0)$ 只有一个公共点，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $- \frac{1}{2}$

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6. 函数 $f (x) = l n (1 - x^{2}) \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设a=0.9， $b = \sqrt{0.9}$ ， $c = l n (\frac{9}{10} e)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b > c > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $c > a > b$

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8. 若函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3 a}{2} x^{2} + 4$ 在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a的值为（）

A、－2 B、－1 C、2 D、 $\frac{10}{3}$

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二、多选题

9. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 3 ， 3]$ 上的奇函数， $f (1) < f (2)$ ，则下列各式一定成立的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (0) < f (2)$ C、 $f (- 1) > f (- 2)$ D、 $f (1) < f (3)$

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10. 关于函数 $f (x) = l n (e^{2 x} + 1) - x$ ，下列说法正确的有（）

A、f(x)为奇函数 B、f(x)为偶函数 C、f(x)的最小值为 $l n 2$ D、对 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$

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11. 设 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 为曲线 $f (x) = | l n x |$ 的两条切线，切点分别为A，B，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，且垂足为P，则下列说法正确的有（）

A、A，B两点的横坐标之和为定值 B、A，B两点的横坐标之积为定值 C、直线AB的斜率为定值 D、P点横坐标的取值范围为（0，1）

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12. 若函数 $f (2 x + 2)$ 为偶函数， $f (x + 1)$ 为奇函数，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (e) = 1$ C、 $f (4 - \frac{1}{e}) = - 1$ D、当 $x \in [1 ， 2)$ 时， $f (x) = - l n (2 - x)$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \geq 0 \\ - \frac{1}{x} ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (2 x - 1) = 3$ ，则x的值为．

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14. 设函数 $f (x)$ 满足：对任意实数x都有 $f (x) = f (- 1) x^{2} + f (1) x - 1$ ，若 $f (x) \geq a$ 在 $[0 ， 2]$ 上恒成立，则实数a的取值范围为．

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15. 已知m为方程 $x^{2} + l g x - 2 = 0$ 的实数根，n为方程 $2 x - l g (2 - x) = 0$ 的实数根，则 $m^{2} + n$ 的值为．

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16. 若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为．

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四、解答题

17. 设集合 $A = {x | l o g_{2} (x + 2) \leq 2}$ ， $B = {x | m - 1 < x < m + 1}$ ．

(1)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若命题“ $\exists x \in B$ ， $x \in ∁_{R} A$ ”为真命题，求实数 $m$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + 1$ ．

(1)、求f(x)的单调区间；

(2)、讨论方程 $f (x) = a (a \in R)$ 的解的个数．

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19. 已知 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是 $(- ∞ ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数．

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f^{2} (x) > k f (2 x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = m x e^{x} - l n x - 1$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq x$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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21. 如图所示，某小区有一个半径为40米、圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形花圃OPQ，点A，B在弧 $\overset{⌢}{P Q}$ 上，且 $\overset{⌢}{P A} = \overset{⌢}{Q B}$ ．小区物业计划在弓形ACB区域（阴影部分）种植观赏植物， $△ A O B$ 域种植花卉，其余区域种植草皮，已知种植观赏植物的成本是每平方米80元，种植花卉的成本是每平方米40元，种植草皮的成本是每平方米60元．记 $∠ A O B = θ$ ， $0 < θ < \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、用 $θ$ 表示弓形ACB的面积；

(2)、求种植总费用的最小值及相应 $θ$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - l n x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 值点的个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 在定义域内有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，
①求a的取值范围；
②证明： $x_{1} + x_{2} > \frac{\sqrt{2 a}}{a}$ ．

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