山东省日照市2021-2022学年高二下学期数学期末校际联合考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则(∁_UA)∪(∁_UB)等于（）

A、{1，6} B、{4，5} C、{2，3，4，5，7} D、{1，2，3，6，7}

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2. 函数 $f (x) = \sqrt{2 x + 1} + \frac{1}{x}$ 的定义域为（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $[- \frac{1}{2} ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$

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3. 已知 $x$ ， $y \in R$ ，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，那么 $x y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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4. 下列函数中，是偶函数且在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = | x |$ D、y=-x²+1

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5. 如图所示，函数 $y = f (x)$ 的图像在点P处的切线方程是 $y = - 2 x + 10$ ，则 $f (4) + f^{'} (4)$ 的值为（）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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6. 若数列{x_n}满足lg x_n_＋₁＝1＋lg x_n(n∈N_＋)，且x₁＋x₂＋x₃＋…＋x₁₀₀＝100，则lg(x₁₀₁＋x₁₀₂＋…＋x₂₀₀)的值为（）

A、102 B、101 C、100 D、99

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 4 x + 1 (x < 0) \\ \frac{2}{e^{x}} (x \geq 0) \end{array}$ ，则 $y = f (x) (x \in R)$ 的图象上关于坐标原点 $O$ 对称的点共有（）

A、0对 B、1对 C、2对 D、3对

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8. 已知 $y = f (x + 2)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $y = g (x - 1)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图像关于y轴对称，则（）

A、 $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $y = g (x)$ 是偶函数 C、2是 $y = f (x)$ 一个周期 D、 $y = g (x)$ 关于直线 $x = 2$ 对称

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二、多选题

9. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则（）

A、 $a + c < b + c$ B、 $a c > b c$ C、 $\frac{a}{b} > \frac{c}{b}$ D、 $l n (c - a) < l n (c - b)$

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10. 下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $e^{x} > x + 1$ ”的否定是“ $\exists x \leq 0$ ，使得 $e^{x} \leq x + 1$ ” B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 C、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c > 0$ 的解集为 ${x | - 1 < x < 2}$ ，则 $a + c = 2$ D、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充要条件

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 存在两个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 C、若方程 $f (x) = k$ 有两个实根，则 $- e < k < 0$ D、若 $x \in [t ， + \infty)$ 时， $f {(x)}_{m a x} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则t的最小值为2

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12. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，对于正整数k， $ϕ (k)$ 是不大于k的正整数中与k互质的数的个数，函数 $ϕ (k)$ 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如： $φ (2) = 1$ ， $φ (3) = 2$ ， $φ (6) = 2$ ， $φ (8) = 4$ .已知欧拉函数是积性函数，即如果m，n互质，那么 $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ ，例如： $φ (6) = φ (2) φ (3)$ ，则（）

A、 $φ (5) = φ (8)$ B、数列 ${φ (2^{n})}$ 是等比数列 C、数列 ${φ (6^{n})}$ 不是递增数列 D、数列 ${\frac{n}{φ (6^{n})}}$ 的前n项和小于 $\frac{18}{25}$

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三、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{5}{1 - x} ， x \leq 0 \\ l o g_{0.5} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- \frac{3}{2})) =$ .

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14. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 27 l n x$ 在区间 $[a - 1 ， a + 1]$ 上单调递减，则实数a的取值范围是.

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15. 已知前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的等差数列 ${a_{n}}$ （公差不为0）满足 $a_{1} = 1 ， {\frac{S_{n}}{a_{n}}}$ 仍是等差数列，则通项公式 $a_{n} =$ .

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16. $π$ 是圆周率， $e$ 是自然对数的底数，在 $3^{e}$ ， $e^{3}$ ， $3^{3}$ ， $e^{e}$ ， $e^{π}$ ， $π^{3}$ ， $3^{π}$ ， $π^{e}$ 八个数中，最小的数是，最大的数是.

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | (x - a) (x + a + 1) \leq 0}$ ， $B = {x | x \leq 3 或 x \geq 6}$ .

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时，若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件，求实数a的取值范围.

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18. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{2} = 7$ ， $S_{5} = 55$ .

(1)、求 $a_{n}$ ， $S_{n}$ ；

(2)、若数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前项和为 $T_{n}$ ，求满足 $T_{n} > \frac{2}{25}$ 的最小正整数n.

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19. 已知函数 $f (x) = (m + \frac{1}{m}) l n x + \frac{1}{x} - x$ ，（其中常数 $m > 0$ ）

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (x)$ 的极大值；

(2)、试讨论 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上的单调性.

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20. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{b - 2^{x}}{2^{x + 1} + a} (a \in R, b \in R)$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $x \in (1, 2)$ 时，不等式 $2^{x} + k f (x) - 3 > 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 数学的发展推动着科技的进步，得益于线性代数､群论等数学知识的应用，5G技术正蓬勃发展.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造仅能由H公司和G公司提供技术支持.据市场调研预测，5G商用初期，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比 $a_{0} = 5 %$ 及 $b_{0} = 95 %$ .假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术，采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后，该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为 $a_{n}$ 及 $b_{n}$ ，不考虑其它因素的影响.

(1)、求 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ；

(2)、用 $a_{n}$ 表示 $a_{n + 1}$ ，并求实数 $λ$ 使 ${a_{n} + λ}$ 是等比数列；

(3)、经过若干次技术更新后该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上？若能，至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据： $l g 2 \approx 0.301$ ， $l g 3 \approx 0.477$ ）

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22. 设函数 $f (x) = l n x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，
①证明：函数 $f (x)$ 恰有两个零点；
②设 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为函数 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > x_{0}$ ，证明： $x_{1} < x_{0} + 2 l n x_{0}$ .

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