山东省青岛市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in R | y = l g (x - 1)}$ ， $B = {x | 2^{x} \leq 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $[1 ， 3]$

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2. 已知随机变量X服从正态分布 $N (2 ， 2^{2})$ ，则 $P (X > 0) =$ （）
附： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

A、0.84135 B、0.97725 C、0.99865 D、0.15865

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3. 在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 函数 $y = 3^{- x}$ 与函数 $y = - 3^{x}$ 的图象（）

A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 对称

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5. 已知 $a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $l o g_{a} \frac{1}{3} < 1$ ， ${(\frac{1}{3})}^{a} < 1$ ， $a^{\frac{1}{3}} < 1$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{3})$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (1 + x) ， x > 0 \\ k x ， x \leq 0 \end{array}$ ，曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2} + l n 2$ 有且仅有一个交点，则实数k的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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7. 已知 ${(1 + x)}^{n} + {(1 - 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} = 29$ ，则 $n =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知 $a = l n \frac{π}{3}$ ， $b = 2 \sqrt{\frac{π}{3}} - 2$ ， $c = s i n 0.04 - \frac{1}{2} (\sqrt{\frac{π}{3} - 1})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 已知某足球运动员每次定点射门的命中率为0.5，则下述正确的是（）

A、若共进行10次射门，则命中次数的数学期望等于5 B、若共进行10次射门，则命中5次的概率最大 C、若共进行5次射门，则命中次数的方差等于1 D、若共进行5次射门，则至少有两次命中的概率为 $\frac{1}{3}$

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10. 非空集合 $W$ 关于运算 $\otimes$ 满足：对于任意的 $a$ 、 $b \in W$ ，都有 $a \otimes b \in W$ ，则称集合 $W$ 关于运算 $\otimes$ 为“回归集”．下列集合 $W$ 关于运算 $\otimes$ 为“回归集”的是（）

A、 $W$ 为 $N$ ， $\otimes$ 为自然数的减法 B、 $W$ 为 $Q$ ， $\otimes$ 为有理数的乘法 C、 $W$ 为 $R$ ， $\otimes$ 为实数的加法 D、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = Q$ ， $W$ 为 $∁_{R} A$ ， $\otimes$ 为实数的乘法

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11. 关于以正方体的顶点为顶点的几何体，下述正确的是（）

A、若几何体为正四面体，则只有1个 B、若几何体为三棱柱，则共有12个 C、若几何体为四棱锥，则共有48个 D、若几何体为三棱锥，则共有58个

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12. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意a， $b \in R$ 都满足 $f (a b) = a f (b) + b f (a)$ ，则下述正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 1$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{6}$ 展开式中的常数项为。（用数字作答）

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14. $(l o g_{2} 3 - l o g_{8} 3) (l o g_{3} 2 + l o g_{9} 2) =$ ．（用数字作答）

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15. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ ．若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \leq \frac{3}{8}$ ，则m的取值范围是．

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16. 某同学在参加某游戏活动中遇到一道单选题目完全不会做，他随机蒙了A，B，C，D选项中的A选项，主持人告诉他B和C选项不对，此时，若他仍坚持选A，则其选对的概率为；若他改选D选项，则其选对的概率为．

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四、解答题

17. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 $0.8 π r^{2}$ 分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．

(1)、瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

(2)、瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

(3)、假设每瓶饮料的利润不为负值，求瓶子的半径的取值范围．

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18. 某市某次数学文化测试（满分为100分），现随机抽取1000名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．

(1)、以样本估计总体，估计本次测试平均分（结果四舍五入保留整数）；

(2)、本次考试分数的前20%为优秀等级，请估计优秀等级的最低分数（精确到0.1）；

(3)、若用比例分配的分层抽样方法在分数段为 $[60 ， 80)$ 的学生中抽取5人，再从这5人中任取2人，求这2人中至多有1人在分数段 $[60 ， 70)$ 内的概率．

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19. 某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在 $(175 ， 225]$ 的产品为合格品，否则为不合格品．统计数据如下面 $2 \times 2$ 列联表：

甲流水线
乙流水线
总计
合格品
92
96
188
不合格品
8
4
12
总计
100
100
200

(1)、依据 $α = 0.15$ 的独立性检验，能否认为产品的包装合格与流水线的选择有关联？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(2)、从抽取的200件产品中随机任取两件，记“这两件产品中至少一件为合格品”为事件B，记“这两件产品均来自甲流水线”为事件A，求 $P (A | \bar{B})$ ；

(3)、公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行不合格品情况检查分析，在x（单位：百件）件产品中，得到不合格品数量y（单位：件）的情况汇总如下表所示：
$x$ （百件）
1
4
7
8
10
$y$ （件）
2
14
24
35
40
求y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并预测一小时生产2000件时的合格品数（精确到1）．
附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ； $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 1$ ，求a．

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21. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， $P (X = i) = p_{i} (i = 0 ， 1 ， 2 ， 3) (p_{i} \neq 0)$ ．

(1)、已知 $p_{0} = 0.35$ ， $p_{1} = 0.3$ ， $p_{2} = 0.25$ ， $p_{3} = 0.1$ ，求 $E (X)$ ；

(2)、设 $p (0 < p < 1)$ 表示该生物临近灭绝的概率，当 $E (X) > 1$ 时，证明：p是关于x的方程 $p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + p_{3} x^{3} = x$ 的最小正实根．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x} - a$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a > 0$ ，当 $x \in [1 ， e]$ 时，函数 $F (x) = | x l n x - a x^{2} |$ 有极小值，求a的取值范围．

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	甲流水线	乙流水线	总计
合格品	92	96	188
不合格品	8	4	12
总计	100	100	200

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$ （百件）	1	4	7	8	10
$y$ （件）	2	14	24	35	40