山东省聊城市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-11 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x \geq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - m x \leq 0}$ ，若 $A ∩ B = {x | 1 \leq x \leq 4}$ ，则m的值为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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2. 第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（）

A、6 B、9 C、12 D、24

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3. 已知 $f (x)$ 的图像如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{l n | x |}{2 (e^{x} + e^{- x})}$ B、 $f (x) = \frac{l n | x |}{2 (e^{x} - e^{- x})}$ C、 $f (x) = \frac{(e^{x} - e^{- x}) l n | x |}{2}$ D、 $f (x) = \frac{(e^{x} + e^{- x}) l n | x |}{2}$

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4. 某公司有甲，乙两家餐厅，小张第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去甲餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为 $\frac{3}{5}$ ；如果第1天去乙餐厅，那么第2天去甲餐厅的概率为 $\frac{4}{5}$ ，则小张第2天去乙餐厅的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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5. ${(\frac{1}{x} + a x^{2})}^{6}$ $(a \in R)$ 的展开式的常数项为 $\frac{15}{4}$ ，则展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ 或 $\frac{5}{2}$ D、 $- \frac{15}{8}$ 或 $\frac{15}{8}$

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6. 甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（）

A、30种 B、54种 C、84种 D、120种

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7. 已知随机变量 $X ， Y$ ， $X ~ B (4 ， \frac{1}{2})$ ， $Y ~ N (μ ， σ^{2})$ ，且 $D (X) = E (Y)$ ，又 $P (Y \leq a - 1) + P (Y \leq 3 - 2 a) = 1$ ，则实数 $a =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 已知 $a = l o g_{\frac{7}{5}} \frac{8}{5}$ ， $b = \frac{3}{8 l n \frac{7}{5}}$ ， $c = l o g_{\frac{6}{5}} \frac{7}{5}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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二、多选题

9. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} 1 - 2 x ， x \leq 0 ， \\ l n x ， x > 0 ， \end{array}$ ，若 $f (f (a)) = 1$ ，则实数a的值可以为（）

A、 $\frac{1 - e}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $e^{e}$

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10. 对具有相关关系的两个变量 $x$ 和 $y$ 进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若两变量 $x$ 、 $y$ 具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点 B、变量 $x$ 、 $y$ 的线性相关系数 $r$ 的绝对值越接近1，则两个变量 $y$ 与 $x$ 的线性相关程度越强 C、用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D、用 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则 $R^{2}$ 的值为1

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11. 已知实数m，n满足 $0 < n < m < 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{n}{m} < \frac{n + 1}{m + 1}$ B、 $m + \frac{1}{m} > n + \frac{1}{n}$ C、 $m^{n} > n^{m}$ D、 $l o g_{m} n < l o g_{n} m$

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12. 一个盒子内装有大小形状完全相同的6个红球，4个白球，则（）

A、若从盒中随机有放回任取2个球，颜色相同的概率为 $\frac{13}{25}$ B、若从盒中随机不放回任取2个球，颜色不相同的概率为 $\frac{8}{15}$ C、若从盒中随机有放回任取4个球，其中有白球的概率为 $\frac{81}{625}$ D、若从盒中随机不放回任取2个球，其中一个球是白球，另一个也是白球的概率为 $\frac{1}{5}$

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三、填空题

13. 某商场进行抽奖促销活动，抽奖规则中规定，抛掷一枚硬币n次，若正面向上的次数为0或n，则获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%，则n的最小值为.

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14. 同时满足性质：① $f (x) - f (- x) = 0$ ；② $f (x y) = f (x) f (y)$ ；③当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f^{'} (x) < 0$ 的函数 $f (x)$ 的一个解析式为.

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15. 数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{2} x | ， x > 0 ， \\ x^{2} + 4 x + 4 ， x \leq 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则 $\frac{1}{c^{2} d} - (a + b) c$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 对于函数 $f (x) = \frac{a}{2} - \frac{3^{x}}{3^{x} + 1} (a \in R)$ ，

(1)、若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值；

(2)、若 ${(\frac{1}{x^{2}} - x^{3})}^{5}$ 的展开式的各二项式系数的和为 $3 a + 2$ ，试解不等式 $f (x) \leq \frac{17}{4}$ .

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18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.自“国家反诈中心APP”推出后，某地区采取多措并举的推广方式，努力为人民群众构筑一道防诈反诈的“防火墙”.经统计，该地区网络诈骗月报案数与推广时间有关，并记录了经推广x个月后月报案件数y的数据.
x（个）
1
2
3
4
5
6
7
y（件）
891
888
351
220
200
138
112
参考数据（其中 $t_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ， $\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} = 7212$ ， $\sum_{i = 1} t_{i} y_{i} = 1586$ ， $\bar{t} = 0.37$ ， $\sum_{i = 1} t_{i}^{2} - 7 {\bar{t}}^{2} = 0.55$ .
参考公式：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， (x_{3} ， y_{3}) ， \cdot \cdot \cdot ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、根据以上数据，判断 $y = a x + b$ 与 $y = \frac{a}{x} + b$ $(a ， b \in R)$ 哪一个适宜作为回归方程模型？根据判断结果，求出y关于x的回归方程；

(2)、分析该地区一直推广下去，两年后能否将网络诈骗月报案数降至75件以下.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - a x + 1 (a \in R)$ ，在 $x = 0$ 处切线的斜率为-2.

(1)、求 $a$ 的值及 $f (x)$ 的极小值；

(2)、讨论方程 $f (x) = m (m \in R)$ 的实数解的个数.

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20. 某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动.该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领.认领的田地由企业的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有.某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了100份有效问卷，部分统计数据如下表：
性别
参与意愿
合计
愿意参与
不愿意参与
男性
48
60
女性
18
合计
100
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
下表给出了 $χ^{2}$ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、请将上述 $2 \times 2$ 列联表补充完整，试依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；

(2)、为了更详细的了解情况，在100份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性4名，女性3名.从观摩小组中选取3人为免费体验者，设免费体验者中男性人数为X，求X的分布列及数学期望.

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21. 某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为 $p_{1}$ ，乙每次投中的概率为 $p_{2}$ ，假设甲，乙两人是否投中互不影响.

(1)、若 $p_{1} = \frac{2}{3}$ ， $p_{2} = \frac{1}{2}$ ，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；

(2)、若 $p_{1} + p_{2} = 1$ ，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - (a x - 1) l n (a x - 1) + (a + 1) x$ .（ $e$ 为自然常数）

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $F (x) = e^{x} - f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， 1]$ 上单调递增，求实数a的取值范围.

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性别	参与意愿		合计
性别	愿意参与	不愿意参与	合计
男性	48		60
女性		18
合计			100

x（个）	1	2	3	4	5	6	7
y（件）	891	888	351	220	200	138	112

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828