山东省德州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 < 0}$ ， $B = {x | y = l g (x - 1)}$ ，则 $A ∩ B$ =（）

A、（－1，2） B、（－1，2] C、（1，2） D、（1，2]

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2. 对于方程根的存在性问题，有一个著名的定理——“代数基本定理”，其内容为：任意一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根．则“代数基本定理”的否定为（）

A、任意一个一元复系数方程，在复数域中至多有一个根 B、任意一个一元复系数方程，在复数域中没有根 C、存在一个一元复系数方程，在复数域中至少有一个根 D、存在一个一元复系数方程，在复数域中没有根

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3. 幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{m^{2} + 2 m - 5}$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $f (3) =$ （）

A、27 B、 $9$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{27}$

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4. 已知 $a = l o g_{2} \frac{1}{5}$ ， $b = 2^{- 1}$ ， $c = 3^{- \frac{4}{5}}$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、b<c<a

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5. 函数 $f (x) = x^{3} l g (x^{2} + 1) + e x$ 的部分图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = 3^{x}$ ，则 $f (l o g_{3} 12)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、12 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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7. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n (x + 1) + 2 x + 1 + a ， x > 0 \\ a x + 3 a - 2 ， x \leq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上是单调函数，且 $f (x) = 0$ 存在负的实数根，则a的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{3}{2}]$ B、 $(\frac{2}{3} ， 1]$ C、 $(\frac{2}{3} ， \frac{3}{2}]$ D、 $(\frac{2}{3} ， + \infty)$

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8. 设 $f (x) = | (x - 1)^{2} - 1 |$ ，已知关于x的方程 $[f (x)]^{2} + k f (x) + k + 3 = 0$ 恰有6个不同的实数根，则k的取值范用为（）

A、（-2，0） B、（-3，-2） C、［-3，-2） D、［-2，0）

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、“ $\forall x \in N$ ， $x^{2} > 0$ ”是假命题 B、“ $\forall x \in (0 ， 1)$ ， $l n x < l g x$ ”是真命题 C、 $3^{a} > 3^{b}$ 是 $a^{2} > b^{2}$ 的充分不必要条件 D、a， $b \in R$ ， $| a + b | = | a | + | b |$ 的充要条件是 $a b \geq 0$

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10. 已知x>0，y>0，且x+2y=3，则下列正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为3 B、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为6 C、xy的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、 $2^{x + 1} + 4^{y} \geq 8$

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11. 已知函数 $y = f (x)$ 在R上可导，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $(f^{'} (x) - f (x)) (x + 1) > 0$ ， $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，则（）

A、函数 $g (x)$ 在 $(- \infty ， - 1)$ 上为增函数 B、 $x = - 1$ 是函数 $g (x)$ 的极小值点 C、函数 $g (x)$ 必有2个零点 D、 $e^{2} f (e) > e^{e} f (2)$

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12. 对 $\forall x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过x的最大整数．十八世纪， $y = [x]$ 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，则下列命题中的真命题是（）

A、 $\forall x \in [- 1 ， 0]$ ， $[x] = - 1$ B、 $\forall x \in R$ ， $x < [x] + 1$ C、函数 $y = x - [x]$ 的值域为［0，1） D、方程 $2022 x^{2} - [x] - 2023 = 0$ 有两个实数根

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 5 ， x > 2 \\ | x - 4 | + m ， x \leq 2 \end{array}$ ．若 $f [f (\sqrt{7})] = 5$ ，则m= ．

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14. 函数 $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + e^{2 x}$ 在点（0，f（0））处的切线与直线 $2 x = a y - 2$ 平行，则a= ．

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15. 若 $a > 2 ， b > - 1$ ，且满足 $a b + a - 2 b = 6$ ，则 $\frac{1}{a - 2} + \frac{9}{b + 1}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + l n x$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则实数a的取值范围是；若不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > x_{1} + x_{2} + t$ 有解，则实数t的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知命题 $p ： x^{2} - (a + 1) x + a < 0 (a \in R)$ ，命题 $q ： x^{2} - 2 x - 8 < 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知函数 $f (x) = x s i n x$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上的单调性，并说明理由；

(2)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上有且只有一个极值点．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{- x^{2} + 1}{x^{2} + b} (b \in R)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $f (\frac{1}{2022}) + f (\frac{1}{2021}) + ⋯ + f (\frac{1}{2}) + 2 f (1) + f (0) + f (2) + ⋯ + f (2021) + f (2022)$ 的值；

(2)、解不等式 $f (4^{x} + 2^{x}) < - \frac{3}{5}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + 1 (a > \frac{1}{2})$ ．

(1)、若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；

(2)、当 $x \in [- 2 ， 1]$ 时．求函数f（x）的最大值．

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21. 高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，促进了区域经济和社会发展．已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t（单位：分钟）满足 $2 \leq t \leq 20$ ， $t \in N^{*}$ ．经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当 $10 \leq t \leq 20$ 时，高铁为满载状态，载客量为1200人；当 $2 \leq t < 10$ 时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与 $(10 - t)^{2}$ 成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为950人．论发车间隔为t分钟时，高铁载客量为P（t）．

(1)、求P（t）的表达式；

(2)、若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益 $Q (t) = \frac{t}{5} P (t) - 40 t^{2} + 660 t - 2048$ 元，当发车时间间隔为多少时，单位时间的浄收益 $\frac{Q (t)}{t}$ 最大？最大为多少？

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{x} (a \in R)$ ， $g (x) = x^{2}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的图像在点（1，f（1））处的切线过（3，3），求函数y=xf（x）的单调区间；

(2)、当a>0时，曲线f（x）与曲线g（x）存在唯一的公切线，求实数a的值．

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