山东省滨州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 0 < x < 4}$ ， $B = {x | x \geq 2}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 0 < x \leq 2}$ B、 ${x | 0 < x < 2}$ C、 ${x | 1 \leq x < 4}$ D、 ${x | 0 < x < 4}$

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2. 若命题 $p$ ： $\forall x < 1$ ， $x^{2} \leq 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} \leq 1$ B、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} > 1$ C、 $\forall x < 1$ ， $x^{2} > 1$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} \leq 1$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 x^{2} + 1 ， x \leq 1 ， \\ \frac{3}{x} ， x > 1 . \end{array}$ 则 $f (f (3)) =$ （）

A、 $\frac{3}{19}$ B、3 C、1 D、19

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4. 若扇形的周长为 $12 c m$ ，面积为 $8 c m^{2}$ ，则其圆心角的弧度数是（）

A、1或4 B、1或2 C、2或4 D、1或5

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5. 假设某校高二年级全体同学的数学竞赛成绩服从正态分布 $N (80 ， 25)$ ，如果规定竞赛成绩大于或等于90分为 $A$ 等，那么在参加竞赛的学生中随机选择一名，他的竞赛成绩为 $A$ 等的概率为（）（附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ）

A、0.0455 B、0.0214 C、0.0428 D、0.02275

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6. 某地区安排A， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五名志愿者到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个社区至少安排一人，且A， $B$ 两人安排在同一个社区，则不同的分配方法的种数为（）

A、36 B、48 C、72 D、84

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7. 针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为 $5 m (m \in N^{*})$ 人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的 $\frac{4}{5}$ ，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 $\frac{3}{5}$ .零假设为 $H_{0}$ ：喜欢短视频和性别相互独立.若依据 $α = 0.05$ 的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则 $m$ 的最小值为（）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，附表：
$α$
0.05
0.01
$x_{α}$
3.841
6.635

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 已知 $a = l o g_{6} 2$ ， $b = l o g_{0.5} 0.2$ ， $c = 0 . 6^{0.3}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 C、 $x = - \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、若 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | = 2$ ，则 $| x_{2} - x_{1} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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10. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量 $X$ 为取出白球的个数，随机变量 $Y$ 为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量 $Z$ 为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (X = 1) = \frac{1}{2}$ B、 $X + Y = 4$ C、 $E (X) > E (Y)$ D、 $E (Z) = \frac{28}{5}$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a^{2} + b^{2} = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $a + b \leq 2$ C、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} \geq 2$ D、 $(a + b) (a^{3} + b^{3}) \geq 4$

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其图象关于直线 $x = - 2$ 对称，且 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ，当 $x \in [2 ， 4]$ 时， $f (x) = l o g_{\frac{1}{3}} x - \frac{1}{6} x + 1$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[- 4 ， - 2]$ 上单调递减 C、 $f (2025) = - \frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 在 $R$ 上无零点

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三、填空题

13. 若某射手每次射击击中目标的概率为 $\frac{2}{3}$ ，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率是.

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14. $(x + \frac{y^{2}}{x}) (x + y)^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数为.

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15. 为迎接党的二十大召开，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件 $A$ 为“第1次抽到选择题”，事件 $B$ 为“第2次抽到选择题”，则 $P (B | \bar{A}) =$ .

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16. 如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ， $A$ 是 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的一定点，并且点A到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为3，4.点 $B$ 是直线 $l_{2}$ 上异于点 $D$ 的一动点，作 $A C ⊥ A B$ ，且使 $A C$ 与直线 $l_{1}$ 交于点 $C$ .则 $\frac{1}{A C} + \frac{1}{A B}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知 $c o s (\frac{π}{4} + x) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ .

(1)、求 $t a n x$ 的值；

(2)、求 $\frac{s i n 2 x + 2 s i n^{2} x}{1 - t a n x}$ 的值.

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18. 随着夏季的来临，遮阳帽开始畅销，某商家为了解某种遮阳帽如何定价才可以获得最大利润，现对这种遮阳帽进行试销售.统计后得到其单价 $x$ （单位：元）与销量 $y$ （单位：顶）的相关数据如表：
单价 $x$ （元）
30
35
40
45
50
日销售量 $y$ （顶）
140
130
110
90
80
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ ， …， $(x_{n} ， y_{n})$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 21200$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 8250$ .

(1)、已知销量 $y$ 与单价 $x$ 具有线性相关关系，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、若每顶帽子的成本为10元，试销售结束后，请利用（1）中所求的经验回归方程确定单价为多少元时，销售利润最大？（结果保留到整数）

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19. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $m$ ，满足 $2^{a} = 4^{b} - 1 = m$ .

(1)、若 $a = 2 b - 1$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $a > 0$ ，求证： $0 < b - \frac{a}{2} < \frac{1}{2}$ .

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20. 已知函数 $f (x) = s i n^{4} x + \sqrt{3} s i n 2 x - c o s^{4} x + m$ 的最小值为1.

(1)、求常数 $m$ 的值；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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21. 已知一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个白球，2个红球.

(1)、若从袋子中任意摸出4个球，求其中恰有2个白球的概率；

(2)、试验1：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸到红球即停止摸球，最多摸球四次， $X_{1}$ 表示停止时的摸球次数；试验2：若每次随机地摸出一个球，记下颜色后不放回，摸到红球即停止摸球， $X_{2}$ 表示停止时的摸球次数.
（i）求 $X_{1}$ 的分布列及均值；
（ii）求试验1和试验2停止时摸球次数相同的概率.

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22. 已知 $f (x) = \frac{2 x - m}{x^{2} + 1}$ 是定义在实数集 $R$ 上的函数，把方程 $f (x) = \frac{1}{x}$ 称为函数 $f (x)$ 的特征方程，特征方程的两个实根 $α$ ， $β (α < β)$ 称为函数 $f (x)$ 的特征根.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)、求 $f (β) - f (α)$ 的表达式；

(3)、把函数 $f (x)$ 在 $[α ， β]$ 上的最大值记作 $f {(x)}_{m a x}$ ，最小值记作 $f {(x)}_{m i n}$ ，令 $g (m) = f {(m)}_{m a x} - f {(x)}_{m i n}$ ，若 $g (m) \leq λ (m^{2} + 8)$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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单价 $x$ （元）	30	35	40	45	50
日销售量 $y$ （顶）	140	130	110	90	80

$α$	0.05	0.01
$x_{α}$	3.841	6.635