山东省百校联考2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {y | y = 2^{x} ， x \geq 0}$ ， $B = {x | y = l n (2 - x)}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， + \infty)$

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2. 设命题 $p ： \exists n > 1$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall n > 1$ ， $n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \leq 1$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n > 1$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\exists n \leq 1$ ， $n^{2} < 2^{n}$

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3. 已知定义在R上的函数 $f (x) = x \cdot 2^{| x |}$ ， $a = f (\log_{3} \sqrt{5})$ ， $b = - f (\log_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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4. 中国的 $5 G$ 技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 $C$ （单位： $b i t / s$ ）取决于信道宽度 $W$ （单位： $H Z$ ）､信道内信号的平均功率 $S$ （单位： $d B$ ）、信道内部的高斯噪声功率 $N$ （单位： $d B$ ）的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度 $W$ 变为原来2倍，而将信噪比 $\frac{S}{N}$ 从1000提升至4000，则 $C$ 大约增加了（）（附： $l g 2 \approx 0.3$ ）

A、110% B、120% C、130% D、140%

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5. 若函数 $f (x) = a^{x} - a^{- x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上为减函数，则函数 $y = l o g_{a} (| x | - 1)$ 的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 满足函数 $f (x) = ln (m x + 3)$ 在 $(- \infty ， 1]$ 上单调递减的一个充分不必要条件是（）

A、 $- 4 < m < - 2$ B、 $- 3 < m < 0$ C、 $- 4 < m < 0$ D、 $- 3 < m < - 1$

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7. 设函数f(x)的定义域为R ， f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 $x \in [1 ， 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (0) + f (3) = 6$ ，则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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8. 已知 $l n x_{1} - x_{1} - y_{1} + 2 = 0$ ， $x_{2} + 2 y_{2} - 4 - 2 l n 2 = 0$ ，记 $M = {(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}$ ，则（）

A、M的最小值为 $\frac{2}{5}$ B、M的最小值为 $\frac{4}{5}$ C、M的最小值为 $\frac{8}{5}$ D、M的最小值为 $\frac{12}{5}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 为减函数 C、 $f (x)$ 有且只有一个零点 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 1)$

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10. 下列说法不正确的是（）

A、已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 = 0}$ ， $B = {x | m x - 1 = 0}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数m组成的集合为 ${\frac{1}{2} ， - \frac{1}{3}}$ B、不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立的充要条件是 $- 3 < k < 0$ C、命题 $p ： \exists x \in [- 2 ， 1]$ ， $x^{2} + x - m \leq 0$ 成立的充要条件是 $m \geq - \frac{1}{4}$ D、“ $x \neq 1$ ”是“ $x^{2} \neq 1$ ”的充分不必要条件

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11. 若函数 $y = e^{x} f (x)$ （ $e$ 是自然对数的底数）在 $f (x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有M性质．下列函数中具有M性质的是（）

A、 $f (x) = 2^{- x}$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = 3^{- x}$ D、 $f (x) = e^{x}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2^{s i n x}$ ，结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 是周期函数 B、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 C、 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2}]$ D、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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三、填空题

13. 若函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 2 ， 3]$ ，则函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 + l o g_{2} (1 - x) ， x < 1 ， \\ 3^{x - 1} ， x \geq 1 ， \end{array}$ 则 $f (- 1) + f (l o g_{3} 12) =$ .

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15. 对于函数 $f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x_{0}$ 满足 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“倒戈函数”．设 $f (x) = 3^{x} + 2 m - 1$ （ $m \in R$ ，且 $m \neq 0$ ）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 已知函数 $f (x) = l n x + x^{3}$ 与 $g (x) = x^{3} - a x$ 的图象上存在关于原点对称的对称点，

(1)、求 $f (\sqrt{e}) =$ ；

(2)、则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知函数 $y = f (x)$ 定义在 $R$ 上有 $f (- x) = - f (x)$ 恒成立，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = - (\frac{1}{4})^{x} + (\frac{1}{2})^{x}$ .

(1)、求 $f (- 1)$ 的值及函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的值域.

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18. 已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

(1)、当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + 2 \log_{2} x$ 只有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围；

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19. 设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{a}{2} x^{2} + b x + c$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为 $y = 1$ .

(1)、求 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) + 2 x$ .
①若 $g (x)$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上单调递增，实数 $a$ 的取值范围；
②若 $g (x)$ 在区间 $(- 2 ， - 1)$ 内存在单调递减的区间，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 $x$ （单位：万元）满足： $f (x) = a \ln x - b x + 3$ （ $a ， b \in R ， a ， b$ 为常数），且曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = k x$ 在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）.

(1)、分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式；

(2)、已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
（参考数据： $\ln = 10 = 2.303 ， \ln 15 = 2.708 ， \ln 20 = 2.996 ， \ln 25 = 3.219 ， \ln 30 = 3.401$ ）

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} (e^{x} - a) - a^{2} x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = - l n x - a x^{2} + x (a \geq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的极值点的个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 3 - 2 l n 2$ ．

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