江苏省镇江市五校2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $A = {x | x > 1} ， B = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > - 1}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | 1 < x < 3}$

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2. 设命题甲： $a = 2$ ，命题乙：直线 $l_{1} ： (a - 1) x - y - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 2 x - a y = 0$ 平行，则（）

A、甲是乙的充分不必要条件 B、甲是乙的必要不充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲是乙的既不充分也不必要条件

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n + 1} = a_{n}$ ，且 $a_{1} = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前四项和 $S_{4}$ 的值为（）

A、 $\frac{15}{16}$ B、 $- \frac{15}{16}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、 $- \frac{15}{4}$

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4. 从 $2 ， 4 ， 6 ， 8$ 中任取2个不同的数 $a ， b$ ，则 $| a - b | = 4$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5. 已知P是圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = 0$ 上的动点， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则 $△ P A B$ 的面积的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、 $2 \sqrt{2}$

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6. ${(x + y)}^{2} {(x - 2 y)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2} y^{4}$ 的系数为（）

A、88 B、104 C、-40 D、-24

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7. 若函数 $f (x) = e^{x} - \frac{a}{2} x^{2} - a x$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、（2，＋∞） B、（1，＋∞） C、（－∞，1） D、（e，＋∞）

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8. 在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x²＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是（）

A、（2，＋∞） B、（1，＋∞） C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、[1，＋∞）

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a_{1} = - 1$ B、 $S_{5} = - 32$ C、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 D、数列 ${S_{n} - 1}$ 的前n项和为 $2 - 2^{n + 1}$

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10. 下列命题中，正确的命题的序号为（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n ， p)$ ，若 $E (X) = 30 ， D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变 C、设随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (0 ， 1)$ ，若 $P (ξ > 1) = p$ ，则 $P (- 1 < ξ \leq 0) = \frac{1}{2} - p$ D、某人在10次射击中，击中目标的次数为 $X$ ，且 $X \sim B (10 ， 0.9)$ ，则当 $X = 9$ 时概率最大

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（）

A、|PQ|的最大值为 $\sqrt{6}$ B、 $| P F_{1} | + | Q F_{1} |$ 为定值 C、椭圆上不存在点M，使得 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ D、若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$

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12. 如图，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁边长为1，P是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论中正确的是（）

A、BP的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ C、当P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $A - B_{1} P C$ 的体积不变 D、以点B为球心， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的球面与面 $A B_{1} C$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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三、填空题

13. 已知p：“∃x₀∈R，x₀²－x₀＋a＜0”为真命题，则实数a的取值范围是．

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14. 将（1＋x）n（n∈N*）的展开式中x²的系数记为 $a_{n}$ ，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{2022}} =$ ．

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15. 柜子里有4双不同的鞋，随机的取两只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为．

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16. 关于 $x$ 不等式 $x^{2} - a (x - 1) e^{x} < 0$ 恰有一个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知各项都为正数的数列{an}满足an_＋₁＋an＝3⋅2n，a₁＝1，

(1)、若bn＝an－2n，求证：{bn}是等比数列；

(2)、求数列{an}的前n项和Sn．

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A B_{1} C_{1}$ 中侧棱与底面垂直，且AB＝AC＝2，AA₁＝4，AB⊥AC，M，N，P，D分别为CC₁ ， BC，AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：PN∥面ACC₁A₁；

(2)、求平面PMN与平面ACC₁A₁所成锐二面角的余弦值．

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19. 不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合 $B = {x | x^{2} - m x - 3 < 0} .$

(1)、求集合A；

(2)、若________，求实数m的取值范围.
在①“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分条件；②“ $x \in ∁_{R} A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的必要条件这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答.

注：如果选择多个条件分别作答，则按第一种情况解答给分

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20. 击鼓传花，也称传彩球，是中国民间游戏，数人或几十人围成圆圈坐下，其中一人拿花(或一小物件)；另有一人背着大家或蒙眼击鼓(桌子、黑板或其他能发出声音的物体)，鼓响时众人开始传花(顺序不定)，至鼓停止为止，此时花在谁手中(或其座位前)，谁就上台表演节目，某单位组织团建活动，9人一组，共9组，玩击鼓传花，(前五组)组号x与组内女性人数y统计结果如表： .

x

1

2

3

4

5

y

2

2

3

4

4

(1)、女性人数与组号x (组号变量x依次为1， 2， 3， 4， 5， ... )具有线性相关关系，请预测从第几组开始女性人数不低于男性人数；
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(2)、在(1) 的前提下，从9组中随机抽取3组，若3组中女性人数不低于5人的有X组，求X的分布列与期望.

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21. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ， O为坐标原点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．

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22. 已知函数 $h (x) = x - a l n x (a \in R)$ .

(1)、若 $h (x)$ 有两个零点， $a$ 的取值范围；

(2)、若方程 $x e^{x} - a (l n x + x) = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + x_{2}} > \frac{e^{2}}{x_{1} x_{2}}$ .

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