四川省绵阳市涪城区2021-2022学年九年级上学期第一次学情考试数学试卷

试卷更新日期：2022-08-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下列四个图形中，中心对称图形是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 对于二次函数 $y = (x - 2)^{2} + 1$ 的图象，下列说法错误的是（　　）

A、开口向上 B、对称轴是x＝2 C、与x轴有两个交点 D、顶点坐标是(2，1)

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3. 已知点M的坐标是(﹣3，4)，则点M关于原点对称的点的坐标是(　　)

A、(3，4) B、(3，﹣4) C、(﹣3，﹣4) D、(4，﹣3)

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4. 一元二次方程x²+x+ $\frac{1}{4}$ ＝0的根的情况是（　　）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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5. 将抛物线 $y = 2 {(x + 1)}^{2}$ 向右平移2个单位，向上平移3个单位得到的抛物线解析式是（）

A、 $y = 2 {(x + 3)}^{2} + 2$ B、 $. y = 2 {(x + 3)}^{2} - 2$ C、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ D、 $y = 2 {(x - 1)}^{2} - 3$

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6. 两块大小相同，含有30°角的直角三角板如图水平放置，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点E′恰好落在AB上时，△CDE旋转的角度是（　　）

A、30° B、35° C、40° D、60°

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7. 如图，AB、CD为⊙O的弦，BD为⊙O直径，AC、BD相交于点E，若 $∠ A = 5 0^{∘}$ ， $∠ A B C = 6 5^{∘}$ ，则∠AEB＝（　　）

A、95° B、100° C、105° D、110°

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8. 近几年，随着争创四川经济副中心目标的提出，绵阳市经济高速发展，国内生产总值（GDP）从2018年的2613亿元增加到2020年的3010亿元，成为四川省第一个GDP突破3000亿元的地级市．若设国内生产总值（GDP）从2018年到2020年平均增长率为x，则可列方程为（　　）

A、2613（1﹣x）²＝3010 B、2613（1+x）²＝3010 C、3010（1﹣x）²＝2613 D、2613+2613（1+x）+2613（1+x）²＝3010

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9. 二次函数y=ax²+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1的值是（）

A、﹣3 B、﹣1 C、2 D、3

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10. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半径为1的⊙O与OB交于点C，且AB与⊙O相切，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点M是边OA上动点．则△MCD周长最小值为（　　）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ + $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$

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11. 如图，抛物线 $y = (x - a)^{2} + h$ （a＞0）与y轴交于点B，直线y＝ $\frac{1}{3}$ x经过抛物线顶点D，过点B作BA∥x轴，与抛物线交于点C，与直线y＝ $\frac{1}{3}$ x交于点A，若点C恰为线段AB中点，则线段OA长度为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、3 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{10}}{3}$

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12. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BAD＝60°，点Q为AD边上动点，点P为AB边上点，PQ⊥AD，当点Q从点A出发运动到点D的过程中，△CPQ面积的最大值是（　　）

A、 $\frac{225 \sqrt{3}}{32}$ B、 $\frac{75 \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{25 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{25 \sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 分解因式：x²﹣3x＝．

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14. 已知关于x的一元二次方程x²+mx﹣10＝0的一个根为5，则其另一根为．

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（﹣2，3），将OA顺时针旋转90°得到OB，则直线AB的解析式为．

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16. 公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝0.8米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度1.44米（不计其他因素）．则水池的半径至少要米，才能使喷出的水流不致落到池外．

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17. 如图，AB为⊙O直径，矩形ACDE的边DE与⊙O相切，点C在⊙O上，若 $\frac{A E}{D E} = \frac{1}{4}$ ， $B D = \frac{8}{3}$ ，则 $A B =$ ．

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18. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1， $D E ⊥ x$ 轴，垂足为E，下列结论：①当 $x < 1$ 时，y随x增大而减小；② $a + b < 0$ ；③ $3 a + b + c > 0$ ；④ $\frac{O C}{D E} = \frac{3}{4}$ ；⑤当 $a < - \frac{2}{3}$ 时， $O C > 2$ ．其中结论正确的有．（填序号）（多填错填倒扣一分）

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三、解答题

19. 解方程

(1)、x²+2x﹣6＝0；

(2)、4（x﹣3）²＝9（x+1）² ．

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20. 如图，在△ABC中，A、B均在x轴上，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC中点，已知点C坐标为（4，2），将△ABC绕原点O逆时针旋转α得到△A₁B₁C₁ ，且AD的对应线段A₁D₁∥y轴．

(1)、旋转角α＝（直接写出结果即可）；

(2)、求C₁的坐标．

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21. 已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+（m﹣1）＝0有两个不相等的实数根．

(1)、求m的取值范围；

(2)、若该一元二次方程的一个根为x＝1，求m的值．

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22. 如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的一条弦，AB与CD交于点M，点E在AD的延长线上，且∠BED＝∠ACD．

(1)、判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若CD∥BE，AC＝4 $\sqrt{5}$ ， AM＝CD，求BD的长．

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23. 某超市购进一批24元/千克的绿色食品，由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在一次函数关系，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克；如果以40元/千克销售，那么每天可售出200千克．

(1)、试求出y与x的函数关系式；

(2)、设该超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

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24. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中A（﹣1，0），顶点C（1，﹣1），点E为对称轴上点，D、F为抛物线上点（点D位于对称轴左侧），且四边形CDEF为正方形．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、求正方形CDEF面积；

(3)、如图2、图3，连接DF，且与CE交于点M，与y轴交于点N，点P为抛物线上位于DF下方的点，点Q为直线BN上点，当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P坐标．

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25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于点C，点E为第一象限中⊙O上的点，AE与OC交于点P，过点C作 $C F ∥ B E$ ，且与AE、AB分别交于M、F．点O关于直线CF对称的点为N，ON与CF交于点Q．

(1)、证明：∠OCF＝∠OAP；

(2)、证明：AM＝CQ+QN；

(3)、如图2，若⊙O半径为4，当点N在BE上时，求点E坐标．

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