江苏省苏州市高新区2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2022-08-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下面四组线段中，成比例的是（）

A、a=2，b=3，c=4，d=5 B、a=1，b=2，c=2，d=4 C、a=4，b=6，c=8，d=10 D、a= $\sqrt{2}$ ，b= $\sqrt{3}$ ，c=3，d= $\sqrt{3}$

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2. 已知 $A B$ 是半径为6的圆的一条弦，则 $A B$ 的长不可能是（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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3. 线段 $A B = 8$ ， P是AB的黄金分割点，且 $A P < B P$ ，则BP的长度为 $($ 　　 $)$

A、 $8 \sqrt{5} - 8$ B、 $8 \sqrt{5} + 8$ C、 $4 \sqrt{5} - 4$ D、 $4 \sqrt{5} + 4$

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4. 如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，EC交对角线BD于点F，则 $\frac{D F}{B F} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 下列说法中，正确的是（）

A、等弦所对的弧相等 B、等弧所对的弦相等 C、圆心角相等，所对的弦相等 D、弦相等所对的圆心角相等

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6. 下列各选项中的两个图形不是位似图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（）

A、4个 B、8个 C、12个 D、16个

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8. 如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（）

A、1.2m B、1.3m C、1.4m D、1.5m

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9. 如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E ，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、以上都有可能

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $A E$ ， $D F ⊥ A E$ 于点 $F$ ，连接 $C F$ ， $F G ⊥ C F$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，下列结论：① $C F = C D$ ；② $G$ 为 $A D$ 中点；③ $Δ D C F ~ Δ A G F$ ；④ $\frac{A F}{E F} = \frac{2}{3}$ ，其中结论正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 在比例尺为 $1 ： 38000$ 的旅游地图上，某条道路的长为3cm，则这条道路的实际长度为km．

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12. 若 $\frac{a - b}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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13. 如图，点A、B、C、D在⊙O上， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{D C}$ ，则ACBD（填“＞”“＜”或“=”）

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14. 已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的最短边为10，则△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长是

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D / / B C$ ，则 $A D$ 的长是．

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16. 一块含有 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ 按如图所示的方式放置，若顶点A的坐标为 $(0 ， 1)$ ，直角顶点C的坐标为 $y (- \sqrt{3} ， 0)$ ，则点B的坐标为.

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17. 如图： $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $A C = 2$ ，把边长分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots x_{n}$ 的 $n$ 个正方形依次放在 $Δ A B C$ 中：第一个正方形 $C M_{1} P_{1} N_{1}$ 的顶点分别放在 $R t Δ A B C$ 的各边上；第二个正方形 $M_{1} M_{2} P_{2} N_{2}$ 的顶点分别放在 $R t$ △ $A P_{1} M_{1}$ 的各边上， $\dots$ 其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x₂₀₂₂为．

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18. 已知点 $A (a ， b)$ 是反比例函数 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 图象上的动点， $A B ∥ x$ 轴， $A C ∥ y$ 轴，分别交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且 $A C = 3 C D$ ，连接 $B C$ .现有以下四个结论：① $k = 2$ ；②在点A运动过程中， $Δ A B C$ 的面积始终不变；③连接 $D E$ ，则 $B C ∥ D E$ ；④不存在点A，使得 $Δ A B C ∽ Δ O E D$ .其中正确的结论的序号是．

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三、解答题

19. 解下列一元二次方程：

(1)、x²+x＝0；

(2)、x²﹣4x﹣7＝0．

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20. 已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．

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21. 如图，在 $Δ A B C$ 中，点D在 $A B$ 边上， $∠ A B C = ∠ A C D$ .

(1)、求证： $Δ A B C ∽ Δ A C D$ ；

(2)、若 $A D = 4 ， A B = 9$ 求 $A C$ 的长.

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22. 如图，O为原点，B，C两点坐标分别为(3，−1) ，(2，1)．

(1)、以O为位似中心在y轴左侧将ΔOBC放大两倍，并画出图形；

(2)、分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；

(3)、已知M(x，y)为ΔOBC内部一点，写出M的对应点M′的坐标．

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23. 已知如图，AD是ABC的中线，且 $∠ D A C = ∠ B$ ， E为AD上一点， $C D = C E$ ．

(1)、求证： $△ A C E ∽ △ B A D$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，试求线段AD的长．

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24. 如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯AB和CD之间时，自己右边的影子NE的长为3m，左边的影子ME的长为1.5m，又知小亮的身高EF为1.80m，两盏路灯AC之间的距离为12m，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？

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25. 如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．

(1)、若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；

(2)、若AC=3，AB=4，求CD的长．

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26. 如图，矩形 $E F G H$ 内接于 $△ A B C$ （矩形各顶点在三角形边上）， $E$ ， $F$ 在 $B C$ 上， $H$ ， $G$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，且 $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，交 $H G$ 于点 $N$ ．

(1)、求证： $△ A H G \sim △ A B C$ ；

(2)、若 $A D = 3$ ， $B C = 9$ ，设 $E H = x$ ，矩形 $E F G H$ 的面积为 $y$ ，求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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27. 已知：如图，等边 $Δ A B C$ 中，点D、E分别在 $A C$ 、 $B C$ 边上，且 $A D = C E$ ， $A E$ 、 $B D$ 相交于点O，连接 $O C$ ．

(1)、如图1，当 $A D = D C$ 时， $∠ B O C$ 的度数为　　；

(2)、如图2，当 $\frac{A D}{D C} = \frac{1}{2}$ 时，
①求 $\frac{A O}{O E}$ 的值；
②求证： $B O ⊥ O C$ ．

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28. 矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，设运动时间为t（单位：s）．

(1)、（1）如图1，若动点P从矩形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时，ΔAPC的面积S（cm²）随时间t（秒）变化的函数图象．

①点P的运动速度是____cm/s，m+n=____；

②若PC=2PB，求t的值；

(2)、如图3，若点P，Q，R分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点Q到达点C（即点Q与点C重合）时，三个点随之停止运动；若点P运动速度与（1）中相同，且点P，Q，R的运动速度的比为2：4：3，是否存在t，使ΔPBQ与ΔQCR相似，若存在，求出所有的t的值；若不存在，请说明理由．

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