江苏省宿迁市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $x (x - 2)^{7} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + ⋯ + a_{8} (x - 1)^{8}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{8} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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2. 已知经过点 $A (1 ， 2 ， 3)$ 的平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 1)$ ，则点 $P (- 2 ， 3 ， 1)$ 到平面 $α$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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3. 下列各式中，不等于 $n!$ 的是（）

A、 $A_{n}^{n}$ B、 $A_{n}^{n - 1}$ C、 $A_{n + 1}^{n}$ D、 $n A_{n - 1}^{n - 1}$

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4. 如果今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过 $2^{2022}$ 天后是（）

A、星期一 B、星期二 C、星期三 D、星期四

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5. 已知数据 $(x ， y)$ 的三对观测值为 $(1 ， 3) ， (3 ， 5) ， (5 ， 4)$ ，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（）

A、 $y = \frac{1}{4} x + \frac{13}{4}$ B、 $y = \frac{1}{4} x + \frac{9}{4}$ C、 $y = \frac{1}{3} x + 3$ D、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

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6. 甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{7}$

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7. 四面体 $A B C D$ 中， $A B = A C = A D = 2 ， ∠ B A D = 90 ° ， \vec{A B} \cdot \vec{C D} = - 2$ ，则 $∠ B A C =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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8. 设随机变量 $X \sim H (10 ， M ， 1000)$ （ $2 \leq M \leq 992$ 且 $M \in N^{*}$ ）， $H (2 ； 10 ， M ， 1000)$ 最大时， $E (X) =$ （）

A、1.98 B、1.99 C、2.00 D、2.01

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、样本相关系数即为其标准化数据向量夹角的余弦值 B、样本相关系数的取值范围是 $(- 1 ， 1)$ C、决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \hat{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ 越大，一元线性回归模型的拟合效果越好 D、若变量x与y的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.5 x - 2$ ，则x与y负相关

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4 ， B C = B B_{1} = 2$ ， E，F分别为棱 $A B ， A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{E F} = \vec{A A_{1}} + \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{C_{1} D_{1}}$ B、 $| \vec{E F} | = 3$ C、 $\vec{E D} \cdot \vec{E C_{1}} = \vec{E D} \cdot \vec{E C}$ D、 $\vec{B F} ⊥ \vec{E C_{1}}$

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11. 已知 $X \sim N (μ_{1} ， σ_{1}^{2}) ， Y \sim N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ 的正态密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）

A、 $μ_{1} < μ_{2}$ B、 $σ_{1} < σ_{2}$ C、 $\forall t \in R ， P (X \geq t) \geq P (Y \geq t)$ D、 $\exists t \in R ， P (X \geq t) \geq P (Y \geq t)$

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12. 某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工 $(i = 1 ， 2)$ ”为事件 $A_{i}$ ， “任取一个零件是次品”为事件B，则（）

A、 $P (\bar{B}) = 0.054$ B、 $P (A_{2} B) = 0.03$ C、 $P (B | A_{1}) = 0.06$ D、 $P (A_{2} | B) = \frac{5}{9}$

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三、填空题

13. 如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．

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14. 已知随机变量 $ξ \sim B (n ， p) ， P (ξ = 1) = \frac{1}{32} ， E (ξ) = 4$ ，则 $D (ξ)$ 的值为．

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15. 已知点 $A (- 1 ， 1 ， 0) 、 B (1 ， 3 ， 2)$ ，与向量 $\vec{A B}$ 不共线的向量 $\vec{a} = (x ， y ， z)$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $(1 ， 1 ， 1)$ ，请你给出 $\vec{a}$ 的一个坐标为．

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16. “杨辉三角”（或“贾宪三角”），西方又称为“帕斯卡三角”，实际上帕斯卡发现该规律比贾宪晚500多年，若将杨辉三角中的每一个数 $C_{n}^{r}$ 都换成分数 $\frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}$ ，就得到一个如图所示的分数三角形数阵，被称为莱布尼茨三角形．从菜布尼茨三角形可以看出 $\frac{1}{(n + 2) C_{n + 1}^{r}} + \frac{1}{(n + 2) C_{n + 1}^{x}} = \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{r}}$ ，其中 $x =$ （用r表示）；令 $a_{n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{20} + \frac{1}{60} + \frac{1}{140} + ⋯ + \frac{1}{n C_{n - 1}^{n - 4}} + \frac{1}{(n + 1) C_{n}^{n - 3}}$ ，则 $\underset{n \to + \infty}{l i m} a_{n}$ 的值为．

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四、解答题

17. 在条件①无理项的系数和为-364，② $x^{3}$ 的系数是64，③第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5∶2中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
问题：在 ${(\frac{1}{x} - 2 \sqrt{x})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中____．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中的常数项．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 在直角梯形 $C E P D$ 中， $P D / / E C ， P D = 8 ， C E = 6$ ， A为线段 $P D$ 的中点，四边形 $A B C D$ 为正方形．将四边形 $P A B E$ 沿 $A B$ 折叠，使得 $P A ⊥ A D$ ，得到如图（2）所示的几何体．

(1)、求直线 $P D$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值；

(2)、当F为线段 $A B$ 的中点时，求二面角 $P - C E - F$ 的余弦值．

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19. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．

(1)、从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；

(2)、先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．

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20. 受疫情影响，某校实行线上教学，为了监控学生的学习情况，每周进行一次线上测评，连续测评5周，得到均分数据见图．

优秀数
非优秀数
合计
某校
46
54
100
联谊校
56
44
100
合计
102
98
200
附：相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
回归系数： ${\begin{array}{l} \hat{b} = \frac{\sum^{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum^{i = 1} x_{i}^{2} - n (\bar{x})^{2}} = \frac{\sum^{i = 1} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum^{i = 1} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} . \end{array}$ ， $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
临界值表：
$P (χ^{2} ≥ k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、请你根据数据利用相关系数判定均分y与线上教学周数x是否具有显著相关关系，若有，求出线性回归方程，若没有，请说明理由；

(2)、为了对比研究，该校和其水平相当的线下教学的联谊校进行同步测评，从两校分别随机抽取100名同学成绩进行优秀学生数统计见表1，请问是否有把握断定优秀数与线上学习有关？若有关，请问有多大把握？

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21. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，所有棱长都为2，且 $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，点P，Q分别在 $A B ， A_{1} C_{1}$ 上，且 $A P = A_{1} Q$ ．

(1)、求证： $P Q / /$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、当点P是边 $A B$ 的中点时，求点 $B_{1}$ 到直线 $P Q$ 的距离．

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22. 在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略
概率
每题耗时（分钟）
第11题
第12题
A
选对选项
0.8
0.5
3
B
部分选对
0.6
0.2
6
全部选对
0.3
0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：

(1)、若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；

(2)、若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．

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	优秀数	非优秀数	合计
某校	46	54	100
联谊校	56	44	100
合计	102	98	200

$P (χ^{2} ≥ k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

策略		概率		每题耗时（分钟）
策略		第11题	第12题
A	选对选项	0.8	0.5	3
B	部分选对	0.6	0.2	6
B	全部选对	0.3	0.7	6