江苏省无锡市普通高中2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 0$ 或 $x > 1}$ ， $B = {x | - 3 < x < 2}$ ，则（）

A、 $A \subseteq B$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A ∪ B = R$ D、 $A ∩ B = \emptyset$

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2. 球的体积V（单位： $c m^{3}$ ）与半径R（单位： $c m$ ）的关系为 $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ ，则 $R = 4 c m$ 时体积关于半径的瞬时变化率为（）

A、 $16 π c m^{2}$ B、 $32 π c m^{2}$ C、 $64 π c m^{2}$ D、 $\frac{256}{3} π c m^{2}$

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图像过点 $(2 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则 $f (16) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、-4 D、4

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4. 已知随机变量 $X \sim B (2 ， p) ， P (X = 1) = \frac{1}{2}$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（）

A、样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性 B、样本相关系数 $r \in [- 1 ， 1]$ C、当 $r = 0$ 时，表明成对样本数据间没有线性相关关系 D、样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

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6. 已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为 $\frac{4}{5}$ ，两台备用设备正常工作的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（）

A、 $\frac{121}{125}$ B、 $\frac{118}{125}$ C、 $\frac{38}{125}$ D、 $\frac{32}{125}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x + 1 ， x \leq 0 \\ | l n x | ， x > 0 \end{array}$ 关于x的方程 $f (x) = a (a \in R)$ 有3个不同的实数解，则a的取值范围是（）

A、 $[1 ， 5)$ B、 $(0 ， 1) ∪ {5}$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， 1)$

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8. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布，有下列四个命题：
甲： $P (ξ < a - 1) = P (ξ > 1 + a)$    乙： $P (ξ \leq a) = \frac{1}{2}$
丙： $P (ξ < a - 2) > P (ξ > 3 + a)$    丁： $P (a - 1 < ξ < 3 + a) < P (a < ξ < 4 + a)$
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（   ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、多选题

9. 已知 $a ， b \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} \neq b^{2}$ B、若 $a^{2} \neq b^{2}$ ，则 $a \neq b$ C、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ D、若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 $6 %$ ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．下列结论正确的是（）

A、每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同 B、任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75 C、任取一个零件，它是次品的概率小于0.06 D、如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是 $\frac{3}{7}$

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11. 已知 $(1 + 2 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n} = 3^{n}$ B、当 $n = 5 ， x = \sqrt{3}$ 时，设 $(1 + 2 x)^{n} = a + b \sqrt{3} ， (a ， b \in N^{*})$ ，则 $a = b$ C、当 $n = 12$ 时， $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n}$ 中最大的是 $a_{7}$ D、当 $n = 12$ 时， $\frac{a_{1}}{2} - \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} - \frac{a_{4}}{2^{4}} + ⋯ + \frac{a_{11}}{2^{11}} - \frac{a_{12}}{2^{12}} = 1$

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + x$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 的图像关于y轴对称 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， \frac{1}{3})$ 中心对称 C、 $\exists a > 0$ ，使得 $f (x)$ 为 $(- \infty ， + \infty)$ 上的增函数 D、当 $a > 0$ 时，若 $g (x) = f (x) - \frac{1}{4} x$ 在 $(- \infty ， x_{1}) ， (x_{2} ， + \infty)$ 上单调递增，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 已知离散型随机变量X的方差为1，则 $D (3 X + 1) =$ ．

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14. 在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，x的系数为．

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15. 写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x) =$ ．
① $f^{'} (x) \geq 0$ ；② $f (- x) + f (x) = 4$ ．

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16. 一份快递从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，5个环节有a，b两种运输方式，第2，4个环节有b，c两种运输方式，第3个环节有c，d，e三种运输方式，快递从甲送到乙，第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有种；快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种．

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四、解答题

17. 已知 $A = {x | l o g_{3} (x^{2} - 2 x + 1) > 2}$ ， $B = {x | {(\frac{1}{2})}^{x - a} < \frac{1}{16}}$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A ∩ ∁_{R} B$ ；

(2)、已知“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求实数a的取值范围．

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18. 某地区2015年至2021年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
11
12.4
13.9
15.7
17.3
18.2
20
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

(1)、求y关于t的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．

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19. 设 $f (x) = a (x - 4)^{2} + 3 l n x (a \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线斜率为 $- \frac{1}{2}$ ．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值．

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20. 某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对400名求职员工的测试得分（测试得分都在 $[75 ， 100]$ 内）进行了统计分析，得分不低于90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和 $2 \times 2$ 列联表．

男
女
合计
优（得分不低于90分）
80
良（得分低于90分）
120
合计
400
参考公式：
$χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.15
1
0.05
0.01
$x_{a}$
2.072
2.706
3.841
6.635

(1)、完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，并依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；

(2)、该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个人的样本，并在9人中再随机抽取5人进行调查，记5人中男性的人数为X，求X的分布列以及数学期望．

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21. 某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．

(1)、若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为 $\frac{1}{4}$ ，求p；

(2)、设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为 $P_{1}$ ；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为 $P_{2}$ ，试比较 $P_{1}$ 与 $P_{2}$ 的大小．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 2} - a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq - 1$ ；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数a的取值范围．

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年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	11	12.4	13.9	15.7	17.3	18.2	20

	男	女	合计
优（得分不低于90分）	80
良（得分低于90分）		120
合计			400

$α$	0.15	1	0.05	0.01
$x_{a}$	2.072	2.706	3.841	6.635