江苏省泰州市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. $6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10$ 可以表示为（）

A、 $A_{10}^{4}$ B、 $A_{10}^{5}$ C、 $C_{10}^{4}$ D、 $C_{10}^{5}$

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2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间 $Ω = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，若事件 $A = {2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $P (A | B)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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3. 已知随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
2
P
0.1
0.3
m
0.1
则X的均值为（）

A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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4. 《义务教育课程方案》将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课程内容共设置十个任务群，每个任务群由若干项目组成．其中生产劳动包括农业生产劳动、传统工艺制作、工业生产劳动、新技术体验与应用四个任务．甲、乙两名同学每人从四个任务中选择两个任务进行学习，则恰有一个任务相同的选法的种数为（）

A、16 B、20 C、24 D、36

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5. $(1 + x) {(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为（）

A、8 B、16 C、18 D、24

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6. 商家为了解某品牌取暖器的月销售量y（台）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月该品牌取暖器的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温（℃）
17
13
8
2
月销售量（台）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b} = - 2$ ，据此估计平均气温为0℃的那个月，该品牌取暖器的销售量约为（）台．

A、56 B、58 C、60 D、62

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7. 通过随机询问200名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
125
25
150
不爱好
35
15
50
总计
160
40
200
参考公式：独立性检验统计量 $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
P（ $x^{2}$ ≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则根据列联表可知（）

A、有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B、有95%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C、有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D、有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

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8. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 6 0^{∘}$ ，则 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{42}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{42}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$

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二、多选题

9. 下列说法中正确的是（）

A、公式 $L W = 8$ 中的L和W具有相关关系 B、回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 恒过样本点的中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、相关系数r的绝对值越接近1，则两个变量的相关性越强 D、对分类变量x与y的随机变量 $χ^{2}$ 来说， $χ^{2}$ 越小，判断“x与y有关系”的把握越大

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10. 下列关于随机变量X的说法正确的是（）

A、若X服从二项分布B（4， $\frac{1}{3}$ ）， $E (X) = \frac{4}{3}$ B、若X服从超几何分布H（4，2，10），则 $E (X) = \frac{4}{5}$ C、若X的方差为D（X），则 $D (2 X - 3) = 2 D (X) - 3$ D、若X服从正态分布N（3， $σ^{2}$ ），且 $P (X < 5) = 0.7$ ，则 $P (1 < X < 5) = 0.3$

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11. 设 ${(2 x + 1)}^{7} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + ⋯ + a_{7} {(x + 1)}^{7}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} = \frac{1 - 3^{7}}{2}$ B、 $a_{1} + a_{2} = - 70$ C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ⋯ + 7 a_{7} = 7$ D、在 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， …， $a_{7}$ 中， $a_{5}$ 最大

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12. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是边长为2的等边三角形， $A A_{1} = 3$ ， D为BC中点，则（）

A、平面 $A D C_{1}$ ⊥平面 $B B_{1} C_{1} C$ B、异面直线 $A C_{1}$ 与BC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、点M在 $Δ A D C_{1}$ 内（包括边界）且 $C M = 1$ ，则CM与平面ABC所成的角的正弦值的最大值为 $\frac{3}{5}$ D、设P，Q分别在线段 $A_{1} B_{1}$ ， $D C_{1}$ 上，且 $\frac{A_{1} P}{A_{1} B_{1}} = \frac{D Q}{D C_{1}}$ ，则PQ的最小值为 $\sqrt{3}$

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三、填空题

13. $C_{7}^{1} + C_{7}^{3} + C_{7}^{5} + C_{7}^{7} =$ ．

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14. 已知离散型随机变量X服从两点分布，且 $P (X = 0) = 3 - 4 P (X = 1)$ ，则随机变量X的标准差为．

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15. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $D D_{1} = 4$ ，则点B到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为．

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16. 设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，现从甲袋中任取2个球，记取出的红球个数为X，则 $E (X)$ ＝，将取出的球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率为．

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四、解答题

17. 在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：前三项的二项式系数之和为16；条件②：第3项与第4项的二项式系数相等；条件③：所有项的系数之和为1024
问题：在 ${(x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，____．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中所有的有理项．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．

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18. 已知 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 2)$ ．

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b})$ 的值；

(2)、当 $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + k \vec{b})$ 时，求实数k的值．

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19. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．

(1)、女生必须坐在一起的坐法有多少种？

(2)、女生互不相邻的坐法有多少种？

(3)、甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？

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20. 如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O， $A B = 2$ ， $O P = 1$ ．

(1)、求二面角 $C - A P - B$ 的大小；

(2)、在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ？若存在，指出点Q的位置；若不存在，说明理由．

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21. 某公司对项目甲进行投资，投资金额x与所获利润y之间有如下对应数据：
项目甲投资金额x（百万元）
6
5
4
3
2
所获利润y（百万元）
0.9
0.8
0.4
0.2
0.2
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ．
参考数据：统计数据表中 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 12 ， \sum_{i = 1}^{5} y_{i}^{2} = 1.69 ， \sqrt{4.4} \approx 2.1$ ．

(1)、用相关系数说明y与x相关性的强弱（本题规定，相关系数r满足 $| r | \geq 0.95$ ，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；

(2)、该公司计划用7百万元对甲，乙两个项目进行投资，若公司利用表格中的数据建立线性回归方程对项目甲所获得的利润进行预测，项目乙投资 $x (1 \leq x \leq 6)$ 百万元所获得的利润y百万元近似满足： $y = 0.04 x - \frac{0.36}{x} + 3.48$ ，求甲，乙两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大．

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22. 我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．

(1)、现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记 $ξ$ 表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E (ξ)$ ；

(2)、技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为 $\frac{2}{3}$ ，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数 $η$ 超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及 $η$ 的方差；

(3)、若技术攻坚后新设备生产的零件直径X~N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率．
参考数据：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | \leq σ) \approx 0.6827$ ， $P (| X - μ | \leq 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (| X - μ | \leq 3 σ) \approx 0.9973$ ， $0.9772 5^{10} \approx 0.7944 ， 0.954 5^{10} \approx 0.6277$ ．

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P（ $x^{2}$ ≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

项目甲投资金额x（百万元）	6	5	4	3	2
所获利润y（百万元）	0.9	0.8	0.4	0.2	0.2

X	－1	0	1	2
P	0.1	0.3	m	0.1

平均气温（℃）	17	13	8	2
月销售量（台）	24	33	40	55

	男	女	总计
爱好	125	25	150
不爱好	35	15	50
总计	160	40	200