江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 二项式 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{12}$ 的展开式中的常数项是（）

A、第7项 B、第8项 C、第9项 D、第10项

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2. 在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 是 $B C$ 的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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3. 设 $A_{n}$ ， $B_{n}$ 分别为等比数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2^{n} + a}{3^{n} + b}$ （ $a$ ， $b$ 为常数），则 $\frac{a_{7}}{b_{4}} =$ （）

A、 $\frac{128}{81}$ B、 $\frac{127}{80}$ C、 $\frac{32}{27}$ D、 $\frac{27}{26}$

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4. 《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为 $10.5$ 尺和 $4.5$ 尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{13}{21}$ D、 $\frac{5}{7}$

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5. “莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（）

A、 $32 π - 16 \sqrt{3}$ B、 $36 π - 16 \sqrt{3}$ C、 $42 π - 16 \sqrt{3}$ D、 $48 π - 16 \sqrt{3}$

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6. （1）将 $k$ 个小球随机地投入编号为1，2…， $k + 1$ 的 $k + 1$ 个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为 $ξ_{1}$ ；（2）将 $k + 1$ 个小球随机地投入编号为1，2…， $k + 2$ 的 $k + 2$ 个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记 $k + 2$ 号盒子中小球的个数为 $ξ_{2}$ ，则（）

A、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}) D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ B、 $E (ξ_{1}) < E (ξ_{2}) D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$ C、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}) D (ξ_{1}) < D (ξ_{2})$ D、 $E (ξ_{1}) > E (ξ_{2}) D (ξ_{1}) > D (ξ_{2})$

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7. 已知球O的半径为2，A，B，C为球面上的三个点， $A B = 2$ ，点P在AB上运动，若OP与平面ABC所成角的最大值为 $\frac{π}{3}$ ，则O到平面ABC的距离为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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8. 已知直线 $l ： y = k x （ k > 0 ）$ 既是函数 $f (x) = x^{2} + 1$ 的图象的切线，同时也是函数 $g (x) = \frac{p x}{x + 1} + l n x (p \in R)$ 的图象的切线，则函数 $g (x)$ 零点个数为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、1或2

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二、多选题

9. 下列说法中，正确的有（）

A、数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是7 B、若事件 $A$ ， $B$ 满足 $0 < P (A)$ ， $P (B) < 1$ 且 $P (A \bar{B}) = P (A) \cdot [1 - P (B)]$ ，则 $A$ 与 $B$ 独立 C、若随机变量 $X ~ B (6 ， \frac{1}{3})$ ，则 $D (X) = \frac{4}{9}$ D、已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一的众数是3，则这6个数的极差最大时，方差的值是 $\frac{37}{3}$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0， $a_{1} = 1$ 且 $a_{2} ， a_{4} ， a_{8}$ 成等比数列，则（）

A、 $\frac{a_{1} + a_{9}}{a_{2} + a_{3}} = 2$ B、 $\frac{a_{4}}{a_{3}} > \frac{a_{5}}{a_{4}}$ C、 $\frac{S_{n + 1}}{n + 1} = \frac{n + 1}{2}$ D、 $S_{n} \geq a_{n}$

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11. 18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布 $B (n ， p)$ ，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其密度函数 $φ_{μ \cdot σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}$ ， $x \in (- \infty ， + \infty)$ ．任意正态分布 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，可通过变换 $Z = \frac{x - μ}{σ}$ 转化为标准正态分布（ $μ = 0$ 且 $σ = 1$ ）．当 $Z \sim N (0 ， 1)$ 时，对任意实数x，记 $t (x) = P (Z < x)$ ，则（）

A、 $t (- x) = 1 - t (x)$ B、当 $x > 0$ 时， $P (| Z | < x) = 1 - 2 t (x)$ C、随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，当 $μ$ 减小， $σ$ 增大时，概率 $P (| X - μ | < σ)$ 保持不变 D、随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，当 $μ ， σ$ 都增大时，概率 $P (| X - μ | < σ)$ 单调增大

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12. 甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以 $A$ 表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（）

A、 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、 $P (B | A) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{7}{12}$ D、 $P (A | B) = \frac{4}{7}$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = l n x - \frac{2}{\sqrt{x}} + m$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线过点 $(0 ， 2)$ ，则实数 $m =$ ．

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14. 若 ${(x + 2)}^{2022} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{2022} x^{2022}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} ⋯ + a_{2022}$ 被4除得的余数为.

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15. 3名女生和4名男生随机站成一排，则每名女生旁边都有男生的概率为．

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16. 如图所示的木质正四棱锥模型 $P - A B C D$ ，过点 $A$ 作一个平面分别交 $P B$ ， $P C$ ， $P D$ 于点E，F，G，若 $\frac{P E}{P B} = \frac{3}{5}$ ， $\frac{P F}{P C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{P G}{P D}$ 的值为.

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四、解答题

17.

(1)、已知 $\frac{1}{C_{5}^{m}} - \frac{1}{C_{6}^{m}} = \frac{7}{10 C_{7}^{m}}$ ，求 $C_{7}^{m} + C_{7}^{m + 1} + C_{8}^{m + 2} + C_{9}^{m + 3} + C_{10}^{m + 4}$ 的值（用数字作答）；

(2)、已知 ${\begin{array}{l} C_{n}^{x} = C_{n}^{2 x} ， \\ C_{n}^{x + 1} = \frac{11}{3} C_{n}^{x - 1} ， \end{array}$ 试求 $x$ ， $n$ 的值．

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18. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3})$ ， $b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}} ， n 为偶数 \end{array}$ ，
①求 $c_{1} + c_{3} + c_{5} + \cdot \cdot \cdot + c_{2 n - 1}$
②求 $c_{2} + c_{4} + c_{6} + \cdot \cdot \cdot + c_{2 n}$

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19. 如图，三棱锥A-BCD中， $B C = B D = \sqrt{6} ， C D = 2$ ， O为CD中点，平面AOB⊥平面BCD.

(1)、证明： $A C = A D$

(2)、若三棱锥A-BCD的体积为 $\frac{2}{3}$ ，二面角 $A - C D - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， E为BC中点.求BD与平面AED所成角的正弦值.

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20. 今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组.
参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
50.24
6.635
7.879
10.282

(1)、第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，
①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(2)、第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的 $2 \times 2$ 列联表.

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
总计
150
250
400
请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？

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21. 2022年初某公司研发一种新产品并投入市场，开始销量较少，经推广，销量逐月增加，下表为2022年1月份到7月份，销量y（单位：百件）与月份x之间的关系.
月份x
1
2
3
4
5
6
7
销量y
6
11
21
34
66
101
196
参考数据：
$\bar{y}$
$\bar{v}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$
$1 0^{0.54}$
62.14
1.54
2535
50.12
3.47
其中 $v_{i} = l g y_{i}$ ， $\bar{v} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i}$ .参考公式：
对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1}) ， (u_{2} ， v_{2}) ， \cdot \cdot \cdot ， (u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

(1)、根据散点图判断 $y = a x + b$ 与 $y = c d^{x}$ （c，d均为大于零的常数）哪一个适合作为销量y与月份x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？

(2)、根据（1）的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测2022年8月份的销量；

(3)、考虑销量､产品更新及价格逐渐下降等因素，预测从2022年1月份到12月份（x的取值依次记作1到12），每百件该产品的利润为 $P = 1 0^{- 0.05 x^{2} + 0.6 x}$ 元，求2022年几月份该产品的利润Q最大.

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22. 已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{2} s i n x - \frac{m}{2} l n x + 1$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，试判断函数 $f (x)$ 在 $(π ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、存在 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求证： $x_{1} x_{2} < m^{2}$ .

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$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	50.24	6.635	7.879	10.282

	学业优秀	学业不优秀	总计
体育成绩不优秀	100	200	300
体育成绩优秀	50	50	100
总计	150	250	400

$\bar{y}$	$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i} v_{i}$	$1 0^{0.54}$
62.14	1.54	2535	50.12	3.47

月份x	1	2	3	4	5	6	7
销量y	6	11	21	34	66	101	196