江苏省南通市海安市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 若 $A_{6}^{3} = m! A_{5}^{2}$ ，则 $m =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

查看试题解析
2. 根据样本点 $A (0 ， 2.2)$ ， $B (2 ， 4.4)$ ， $C (4 ， n)$ 绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且线性回归方程为 $\hat{y} = 0.65 x + 2.5$ ，则 $n =$ （）

A、6.6 B、5.1 C、4.8 D、3.8

查看试题解析
3. 一个袋子中共有8个大小相同的球，其中3个红球，5个白球，从中随机摸出2个球，则取到红球的个数的期望为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
4. 第十三届冬残奥会于2022年 $3$ 月4日至3月13日在中国成功举行 $.$ 已知从某高校4名男志愿者，2名女志愿者中选出3人分别担任残奥高山滑雪、残奥冰球和轮椅冰壶志愿者，且仅有1名女志愿者入选，则不同的选择方案共有（）

A、36种 B、42种 C、48种 D、72种

查看试题解析
5. 投资甲、乙两种股票，每股收益 $($ 单位：元 $)$ 分别如下表：
甲种股票收益分布列
乙种股票收益分布列
收益
-1
0
2
收益
0
1
2
概率
0.1
0.3
0.6
概率
0.2
0.5
0.3
则下列说法正确的是（）

A、投资甲种股票期望收益大 B、投资乙种股票期望收益大 C、投资甲种股票的风险更高 D、投资乙种股票的风险更高

查看试题解析
6. 在四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $D$ 满足 $\vec{B D} = λ \vec{B C}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点，且 $\vec{O E} = \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
7. 六氟化硫在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途 $.$ 已知六氟化硫分子构型呈正八面体 $($ 每个面都是正三角形 $)$ ，如图所示，任取正八面体的两条棱，在第一条棱取自于四边形 $A B C D$ 的一条边的条件下，再取第二条棱，则取出的两条棱所在的直线是异面直线的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2}{11}$ D、 $\frac{4}{11}$

查看试题解析
8. 若 $(1 + 2 x)^{3} (x - 2)^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、-54 B、-43 C、-27 D、54

查看试题解析

二、多选题

9. 对于样本相关系数 $r$ ，下列说法不正确的是（）

A、 $r$ 越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B、 $r = 0$ ，成对样本数据没有任何相关关系 C、 $r$ 刻画了样本点集中于某条直线的程度 D、成对样本数据相关的正负性与 $r$ 的符号（正负）相同

查看试题解析
10. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两共面，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面 C、对于空间的任意一个向量 $\vec{p}$ ，总存在实数 $x$ ， $y$ ， $z$ ，使得 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ D、若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 也是空间的一组基底

查看试题解析
11. 箱中共有包装相同的3件正品和2件赝品，从中不放回地依次抽取2件，用 $A$ 表示“第一次取到正品”，用 $B$ 表示“第二次取到正品”，则（）

A、 $P (A) = P (B)$ B、 $P (A B) = P (A) P (B)$ C、 $P (A + B) = 0.9$ D、 $P (B | A) = 0.5$

查看试题解析
12. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ D A B = 6 0^{∘}$ ，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上，则（）

A、 $A P ⊥ B_{1} C$ B、 $P$ 到 $A_{1} B_{1}$ 和 $C D$ 的距离相等 C、 $A P$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值最小为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值最大为 $\frac{1}{3}$

查看试题解析

三、填空题

13. 试写出一个点 $C$ 的坐标：，使之与点 $A (- 1 ， 1 ， 0)$ ， $B (- 1 ， 0 ， 1)$ 三点共线．

查看试题解析
14. 已知 $(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})^{n}$ 的展开式中第 $3$ 项和第 $4$ 项的二项式系数相同，则展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

查看试题解析
15. 请在下面两题中选择一题作答：
题 $1 ：$ 设点 $A$ 是抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： x^{2} - y^{2} = 1$ 在第一象限的唯一公共点，点 $B$ ， $C$ 分别是 $C_{1}$ 的准线与 $C_{2}$ 的两条渐近线的交点，则 $△ A B C$ 的面积为．
题 $2 ：$ 已知球的体积 $V$ 和表面积 $S$ 均是球半径 $R$ 的函数，分别记为 $V (R)$ ， $S (R) .$ 若球 $O$ 的半径 $R$ 满足 $V^{'} (R) = 3 S^{'} (R)$ ，点 $P$ 到球心 $O$ 的距离为 $1$ ，过点 $P$ 作平面 $α$ ，则平面 $α$ 截球 $O$ 所得截面圆的面积的最小值为．

查看试题解析
16. 某商场共有三层，最初规划第一层为35家生活用品店，第二层为35家服装店，第三层为30家餐饮店.招商后，最终各层各类店铺的数量 $($ 单位：家 $)$ 统计如下表：

生活用品店
服装店
餐饮店
第一层
25
7
3
第二层
4
27
4
第三层
6
1
23
若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 $；$ 若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 25$ ，求：

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $；$

(2)、数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且 $B D = 1$ ，求：

(1)、 $A D ；$

(2)、 $s i n (C - \frac{π}{3}) .$

查看试题解析
19. 某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了100位学生进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的 $\frac{3}{7} ；$ 在回答“不满意”的人中，女生人数占 $\frac{1}{5}$ ．
附
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

(1)、请根据以上信息填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断学生对体育锻炼时长的满意度是否与性别有关 $\cdot$

满意
不满意
合计
男生
女生
合计

(2)、为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这100名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于60分为达标，超过96%的学生达标则认为达标效果显著 $.$ 已知这100名学生的测试成绩服从正态分布 $N (70 ， 25)$ ，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著 $\cdot$
附：若 $X$ ∽ $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

查看试题解析
20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A B$ 和 $△ P A D$ 均为正三角形，且边长为 $\sqrt{3}$ ， $B C = C D = \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = 9 0^{∘}$ ， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C ；$

(2)、求二面角 $P - C D - B$ 的余弦值．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F (- 2 ， 0)$ ，右顶点 $A (3 ， 0)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程 $；$

(2)、设 $B$ 为 $C$ 上一点（异于左、右顶点）， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，直线 $O M$ 与直线 $l ： x = - \frac{9}{2}$ 交于点 $N$ ，求证： $A B ⊥ N F$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = x - x l n x - 1$ ．

(1)、证明： $f (x) \leq 0 ；$

(2)、若 $e^{x} \geq a x + 1$ ，求 $a$ ．

查看试题解析
23. 某大型养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为 $p$ ．

(1)、若 $p = 0.9$ ，从中随机取出2只鸡，记取到病鸡的只数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的概率分布及数学期望 $；$

(2)、对该养鸡场所有鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡 $.$ 方案如下：按每 $k (k \in N *)$ 只鸡一组分组，并把同组的 $k$ 只鸡的血混合在一起化验，若发现有问题，再分别对该组 $k$ 只鸡逐只化验 $.$ 设每只鸡的化验次数为随机变量 $η$ ，当且仅当 $2 \leq k \leq 8$ 时， $η$ 的数学期望 $E (η) < 1$ ，求 $p$ 的取值范围

查看试题解析

甲种股票收益分布列				乙种股票收益分布列
收益	-1	0	2	收益	0	1	2
概率	0.1	0.3	0.6	概率	0.2	0.5	0.3

	生活用品店	服装店	餐饮店
第一层	25	7	3
第二层	4	27	4
第三层	6	1	23

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	满意	不满意	合计
男生
女生
合计