江苏省南通市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l g (x^{2} - 1)} ， B = {y | y = 1 0^{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， + \infty)$

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2. 在 $(x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、50 B、35 C、24 D、10

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3. 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为：公、侯、伯、子、男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位相邻的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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4. 若x＝a是函数 $f (x) = (x - a)^{2} (x - 1)$ 的极大值点，则a的取值范围是（）

A、 $a < 1$ B、 $a \leq 1$ C、 $a > 1$ D、 $a \geq 1$

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5. “埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法．这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下头一个2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除．剔除到最后，剩下的便全是素数．在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到30的全部素数过程中剔除的所有数的和为（）

A、333 B、335 C、337 D、341

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6. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 、 $Q$ 是双曲线上关于原点对称的两点， $| O P | = | O F_{1} |$ ，四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为2，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7. 等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ．设甲： $a_{2} = 3 a_{1}$ ，乙：数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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8. 已知函数 $f (x) = | x - \frac{4}{2^{x} + 2} |$ ， $a = f (l o g_{3} 2)$ ， $b = f (l o g_{4} 3)$ ， $c = f (\frac{4}{3})$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ， $σ$ 越小，该正态分布对应的正态密度曲线越扁平 B、运用最小二乘法得到的线性回归直线－定经过样本中心 $(\bar{x} ， \bar{y})$ C、相关系数 $| r |$ 越接近1，y与x相关的程度就越弱 D、利用 $χ^{2}$ 进行独立性检验时， $χ^{2}$ 的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系

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10. 若 $a > b$ ，则（）

A、 $a^{\frac{1}{3}} > b^{\frac{1}{3}}$ B、 $a b < {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ C、 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ D、 $e^{a} > b + 1$

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11. 已知圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 和圆 $O_{2}$ ： $(x - 4)^{2} + y^{2} = 13$ 相交于A，B两点，且点A在x轴上方，则（）

A、 $| A B | = 4$ B、过 $O_{2}$ 作圆 $O_{1}$ 的切线，切线长为 $2 \sqrt{11}$ C、过点A且与圆 $O_{2}$ 相切的直线方程为 $3 x - 2 y + 1 = 0$ D、圆 $O_{1}$ 的弦AC交圆 $O_{2}$ 于点D，D为AC的中点，则AC的斜率为 $\frac{7}{2}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{\sqrt{5}}{5} [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}]$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 1$ B、 $a_{2022}$ 是偶数 C、若 $S_{2020} = a$ ，则 $a_{2022} = a + 1$ D、若 $T_{n} = C_{n}^{1} a_{1} + C_{n}^{2} a_{2} + ⋯ + C_{n}^{n} a_{n}$ ，则存在n使得 $T_{n}$ 能被8整除

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in [0 ， 2] ， x^{2} - k x + 1 > 0$ ”的否定是．

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14. 数学家波利亚说：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系”这就是算两次原理，又称为富比尼原理．由等式 $(1 + x)^{m} (1 + x)^{n} = (1 + x)^{m + n}$ 利用算两次原理可得 $C_{m}^{0} C_{n}^{k} + C_{m}^{1} C_{n}^{k - 1} + C_{m}^{2} C_{n}^{k - 2} + ⋯ + C_{m}^{k} C_{n}^{0} =$ ．

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15. 直线 $l$ 过抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0 ， 1)$ ，且与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $| A F | - \frac{2}{| B F |}$ 的最小值为．

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16. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x$ ．若 $a = 1$ 时，直线 $y = k_{1} (x - 1) + 1$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，则 $k_{1}$ 的所有可能的取值为；若a∈R时，直线 $y = k (x - 2)$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，且满足条件的k的值有且只有3个，则a的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = l g (1 + x) + k l g (1 - x)$ ．从下面两个条件中选择一个求出 $k$ ，并解不等式 $f (x) < - 1$
①函数 $f (x)$ 是偶函数；②函数 $f (x)$ 是奇函数．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 记数列{an}的前n项积为Tn，且 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{2}{a_{n}} = 1$ ．

(1)、证明：数列 ${T_{n} + 1}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${n T_{n}}$ 的前n项和Sn．

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19. 如图，在四面体 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2 P A = 2$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上．

(1)、当 $D$ 是线段 $A C$ 中点时，求 $A$ 到平面 $P B D$ 的距离；

(2)、若二面角 $A - P D - B$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $\frac{A D}{A C}$ 的值．

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20. 某校在体育节期间进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案．方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中不得分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中不得分．甲、乙两位同学参加比赛，选择方案A投中的概率都为 $p_{0} (0 < p_{0} < 1)$ ，选择方案B投中的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响．

(1)、若甲同学选择方案A投篮，乙同学选择方案B投篮，记他们的得分之和为X， $P (X \leq 3) = \frac{4}{5}$ ，求X的分布列和数学期望；

(2)、若甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大?

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21. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，直线 $l ： x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，记M的轨迹为C．

(1)、求C的方程；

(2)、过点M且与C相切的直线交椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问 $△ A B N$ 的面积是否为定值?请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = l n x - x + 1$ ， $g (x) = \frac{a}{2} {(x - 1)}^{2}$ ， $g (x)$ 的导函数为 $g^{'} (x)$ ．

(1)、若 $\forall x \in [e ， e^{2}]$ ， $f (x) < g^{'} (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，讨论 $F (x)$ 的零点个数．

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