江苏省连云港市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $P (A B) = \frac{3}{10} ， P (B | A) = \frac{1}{2}$ ，则P(A)=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.9，0.7．若两人同时独立射击，则他们只有一人中靶的概率是（）

A、0.97 B、0.63 C、0.34 D、0.03

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3. 某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据
$x$ / ${}_{∘}C$
15
20
25
30
35
$y$ /百元
1
2
2
4
5
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程是（）

A、 $\hat{y} = 0.2 x - 2$ B、 $\hat{y} = 0.2 x - 2.2$ C、 $\hat{y} = 0.2 x + 2$ D、 $\hat{y} = 0.2 x + 2.2$

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4. ${(x - \frac{2}{x^{2}})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、20 B、40 C、60 D、80

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5. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
0.64
q2
1－2q
则E(X)=（）

A、0.56 B、0.64 C、0.72 D、0.8

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6. 如图所示，已知三棱台 $A B C － A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上、下底面都是等腰直角三角形， $C C_{1} ⊥$ 面 $A B C$ ， $A C = 2 ， A_{1} C_{1} = 1 ， C C_{1} = 1$ ，则这个三棱台的侧面积为（）

A、 $\frac{6 + 3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{10 + 3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{11 + 3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{3}$

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7. 设 $a \in Z$ ，且 $0 \leq a \leq 15$ ，若 $4 9^{2022} + a$ 能被15整除，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、13 D、14

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8. 某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”“复变函数”“微分几何”“数值分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A、150种 B、210种 C、300种 D、540种

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二、多选题

9. 已知 $C_{34}^{x} = C_{34}^{3 x - 6}$ ，则x=（）

A、3 B、6 C、8 D、10

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10. 甲、乙两名运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率 $\frac{2}{3}$ ，乙胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．则（）

A、当采用“三局两胜”制，甲胜的概率为 $\frac{16}{27}$ B、当采用“三局两胜”制，乙胜的概率为 $\frac{7}{27}$ C、当采用“五局三胜”制，甲胜的概率为 $\frac{64}{81}$ D、当采用“五局三胜”制，乙胜的概率为 $\frac{13}{81}$

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11. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n} (n \geq 3 ， n \in N^{*})$ 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则（）

A、n=7 B、第4项为 $\frac{35}{8} x^{\frac{5}{4}}$ C、第3项系数最大 D、展开式中有理项有2项

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12. 一副三角板按如图所示的方式拼接，将△BCD折起，使得二面角A－BC－D的大小为θ，E，F分别是BC，BD的中点，则（）

A、直线BD与平面AEF所成的角是定值 B、当θ=90°时，平面ABD⊥平面ACD C、当θ=90°时，直线BD与AC的夹角为45° D、设平面AEF∩平面ACD=l，则l//平面BCD

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三、填空题

13. 已知 $\vec{a}$ =(3，2，－1)， $\vec{b} =$ (2，1，2)，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b})$ = ．

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14. 从 $0 ， 1 ， 2 ， 3$ 这4个数字中选出3个不同数字能组成个三位数．

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15. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，7²)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)

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16. 如图，在球内接四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 的对角线AC与BD交于点O， $C B = C D = 2$ ， $A B = A D = 2 \sqrt{3}$ ， $A E = 3 \sqrt{2}$ ， $E O = 3$ ， $A E ⊥ B D$ ．则球的表面积为．

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四、解答题

17. 某同学会做老师给出的6道题中的4道.现从这6道题中选3道让该同学做，规定至少做出2道才能及格，试求：

(1)、选做的3题中该同学会做的题目数的分布列；

(2)、该同学能及格的概率．

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18. 某医疗机构为了解某疾病与喝酒是否有关，进行了一次抽样调查，数据如下表：

未患病
患病
合计
喝酒
110
40
150
不喝酒
90
10
100
合计
200
50
250
参考公式： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ (其中n=a＋b＋c＋d)
P(χ²≥x₀)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
x₀
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、根据数据，能否有99.5%把握认为，患病与喝酒有关?

(2)、从喝酒的150人中按分层抽样的方法抽取15人，再从这15人中抽取3人，求至少有1人患病的概率．

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19. 如图，在四棱锥 $P － A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D$ ⊥底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点，证明：

(1)、 $P B / /$ 平面 $A M C$ ；

(2)、 $A M ⊥ P C$ ．

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20. 椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (2 ， - \frac{\sqrt{2}}{2}) ， B (- \sqrt{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、若斜率为k的直线l过椭圆E的左焦点F，与椭圆E交于C，D两点，CD的垂直平分线与x轴交于点M，证明： $\frac{| F M |}{| C D |}$ 为定值．

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21. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AD=2AB=6， $P A = P D = 3 \sqrt{2}$ ， PD⊥AB，AC=BD，点M在侧棱PD上，且PD=3MD．

(1)、证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)、求平面PAB与平面MAC所成锐二面角的余弦值．

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22. 已知函数 $f (x) = x - l n x - 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $F (x) = x l n x - 2 x + f (x)$ ，若 $F (x) = 0$ 有且仅有两个实根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，证明： $x_{1} x_{2} = 1$ ．

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	未患病	患病	合计
喝酒	110	40	150
不喝酒	90	10	100
合计	200	50	250

P(χ²≥x₀)	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
x₀	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$ / ${}_{∘}C$	15	20	25	30	35
$y$ /百元	1	2	2	4	5

X	0	1	2
P	0.64	q2	1－2q