江苏省淮安市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. $(x^{2} - x)^{5}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 项的系数为（）

A、-1 B、-5 C、1 D、5

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2. 已知集合M，N均为R的子集，且 $(∁_{R} M) ∩ N = \emptyset$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、M C、N D、R

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3. 某社区准备从甲、乙、丙、丁、戊5位同学中选取3名同学参加疫情防控志愿者服务，若每人被选中的可能性相等，则其中甲、乙2名同学同时被选取的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 对四组数据进行统计后，获得了如下图所示的散点图，对于其相关系数的比较，下列说法正确的是（）

A、 $r_{3} < r_{2} < 0 < r_{1} < r_{4}$ B、 $r_{4} < r_{1} < 0 < r_{2} < r_{3}$ C、 $r_{2} < r_{3} < 0 < r_{4} < r_{1}$ D、 $r_{1} < r_{4} < 0 < r_{3} < r_{2}$

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5. 某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90， $σ^{2}$ ），若 $P (90 \leq c \leq 95) = 0.3$ ，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（）

A、5 B、10 C、15 D、30

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6. 已知随机变量X满足 $E (2 - 2 X) = 4$ ， $D (2 - 2 X) = 4$ ，下列说法正确的是（）

A、 $E (X) = - 1 ， D (X) = - 1$ B、 $E (X) = 1 ， D (X) = 1$ C、 $E (X) = - 1 ， D (X) = 4$ D、 $E (X) = - 1 ， D (X) = 1$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | l o g_{3} x | ， x > 0 \\ x^{2} + 4 x + 1 ， x ⩽ 0 \end{array}$ ，函数 $F (x) = f (x) - b$ 有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且满足： $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $0 < b \leq 1$ B、 $\frac{1}{3} \leq x_{3} \leq 1$ C、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ D、 $x_{3} \cdot x_{4} = 1$

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8. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD， $P A = A B$ ， M为PC上一动点， $P M = t P C$ ，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 下列随机变量中属于离散型随机变量的是（）

A、某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B、测量一个年级所有学生的体重，在60kg~70kg之间的体重记为X C、测量全校所有同学的身高，在170cm~175cm之间的人数记为X D、一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X

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10. 高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（）

A、如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B、如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 C、如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D、如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种

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11. 对于函数 $f (x) = \frac{| x |}{2 - | x |}$ ，下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 在其定义域上为偶函数 B、 $f (x)$ 在 $(- \infty ， - 2) \cup (- 2 ， 0)$ 上单调递减，在 $(0 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， + \infty)$ D、 $f (x) ≤ 1$ 有解集为 $(- \infty ， - 2) \cup [- 1 ， 1] \cup (2 ， + \infty)$

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12. 将边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形ABCD沿BD折成如图所示的直二面角 $A - B D - C$ ，对角线BD的中点为O，下列说法正确的有（）

A、 $A C = \sqrt{2}$ B、 $A B ⊥ C D$ C、二面角 $A - B C - D$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ D、点B到平面ACD的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 甲、乙、丙三名同学竞选班长、团支书、学习委员三个职位，每人只竞选一个职位，设事件A为“三人竞选职位都不同”，B为“甲独自竞选一个职位”，则P（A|B）＝．

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14. 甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，每局比赛没有平局且相互独立，每局比赛甲胜的概率为p，若比赛采取5局3胜制，甲仅用3局就赢得比赛的概率为 $\frac{8}{27}$ ，则 $p =$ ．

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15. 某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有种．（用数字作答）

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16. 在 ${(\frac{1}{2} + 2 x)}^{n}$ 的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n的值为，展开式中系数最大的项为．

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四、解答题

17. 已知非空集合 $A = {x | m - 1 \leq x \leq 3 m - 2}$ ， ____．①函数 $f (x) = \sqrt{12 + x - x^{2}}$ 的定义域为集合B；②不等式 $\frac{2}{x - 1} \leq 1$ 的解集为B．试从以上两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并解答．

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A ∪ B$ ；

(2)、若 $A ∩ B = A$ ，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = l o g_{2} x - 1$ ．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、解不等式 $x f (x) \geq 0$ ．

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19.

(1)、用二项式定理求 $3^{10}$ 除以5的余数；

(2)、某小组有8人，从中选择4人参加活动，有两种选法：第一种：直接选4人，有 $C_{8}^{4}$ 种选法．第二种：如果该组的组长参加活动，则从剩余的7人中选3人，有 $C_{7}^{3}$ 种选法；如果该组的组长不参加活动，则从剩余的7人中选4人，有 $C_{7}^{4}$ 种选法．因为这两种选法的效果是一致的，所以我们可以得到一个等式： $C_{8}^{4} = C_{7}^{3} + C_{7}^{4}$ ．试将这种情形推广：从 $n + 1$ 个元素中选择m个元素的不同选法得到的等式是______．并以此求解： $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + C_{4}^{2} + ⋯ + C_{8}^{2}$ ．（用数字作答）．

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20. 某校成立了生物兴趣小组，该兴趣小组为了探究一定范围内的温度x与豇豆种子发芽数y之间的关联，在5月份进行了为期一周的实验，实验数据如下表：
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
温度x℃
20
21
23
15
25
17
19
发芽数y个
25
27
30
19
31
21
22
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中任选5组数据建立y关于x的线性回归方程，并用该方程对剩下的2组数据进行检验．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \cdot \bar{x}$ ．

(1)、若选取的是星期一、二、三、六、日这5天的数据，则求出y关于x的线性回归方程；

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？

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21. 疫情过后，百业复苏，某餐饮店推出了“三红免单”系列促销活动，为了增加活动的趣味性与挑战性，顾客可以从装有3个红球、7个白球的袋子中摸球参与活动，商家提供 $A$ 、 $B$ 两种活动规则：规则 $A$ ：顾客一次性从袋子中摸出3个球，如果3个球都是红球，则本次消费免单；如果摸出的3个球中有2个红球，则获得价值200元的优惠券；如果摸出的3个球中有1个红球，则获得价值100元的优惠券；如果摸出的3个球中没有红球，则不享受优惠．规则 $B$ ：顾客分3次从袋子中摸球，每次摸出1只球记下颜色后放回，按照3次摸出的球的颜色计算中奖，中奖优惠方案和规则 $A$ 相同．

(1)、某顾客计划消费300元，若选择规则 $A$ 参与活动，求该顾客参加活动后的消费期望；

(2)、若顾客计划消费300元，则选择哪种规则参与活动更加划算？试说明理由．

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22. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形， $∠ A P D = \frac{π}{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，平面 $P A B ∩$ 平面 $P C D = l$ ．

(1)、求证： $l ⊥$ 平面PAD；

(2)、设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．

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日期	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
温度x℃	20	21	23	15	25	17	19
发芽数y个	25	27	30	19	31	21	22