吉林省“BEST合作体” 2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-08 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某同学从4本不同的数学资料，2本不同的语文资料，2本不同的英语资料中任选一本购买，则不同的选法共有（）

A、6种 B、8种 C、12种 D、16种

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2. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是 $s = 4 t + 2 t^{2}$ ，则该物体在 $t = 3 s$ 时的瞬时速度是（）

A、30m/s B、16m/s C、12m/s D、10m/s

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3. 在一组样本数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n}) ， (n \geq 2 ， x_{1} ， x_{2} ， ⋯ ， x_{n}$ 互不相等 $)$ 的散点图中，若所有样本点 $(x_{i} ， y_{i})$ $(i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 都在直线 $y = \frac{1}{3} x - 5$ 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、-1 D、1

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4. 函数 $f (x) = - l n x + x$ 的递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0)$ 和 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， + \infty)$

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5. 某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为（）

A、0.48 B、0.66 C、0.70 D、0.75

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6. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，若 $E (X) = 2$ ，则 $D (X) =$ （）
$X$
1
2
3
$P$
$\frac{1}{3}$
$m$
$n$

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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7. 先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数．在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于7的概率为（）

A、 $\frac{13}{18}$ B、 $\frac{7}{12}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x}$ 取得最小值 $2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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9. 设随机变量M服从正态分布，且函数 $f (x) = x^{2} - 6 x + M$ 没有零点的概率为 $\frac{1}{2}$ ，函数 $g (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2 M$ 有两个零点的概率为 $\frac{1}{5}$ ，若 $P (M > m) = \frac{1}{5}$ ，则 $m =$ （）

A、17 B、10 C、9 D、不能确定

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10. 2022年6月17日，我国第三艘航母“福建舰”正式下水．现要给“福建舰”进行航母编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（）

A、72 B、324 C、648 D、1296

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11. ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \cdot \cdot \cdot + {(1 + x)}^{15}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是常数项的（）

A、130倍 B、140倍 C、150倍 D、160倍

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12. 下列命题为真命题的个数是（）
① $l n 3 < \sqrt{3} l n 2$ ；② $l n π < \sqrt{\frac{π}{e}}$ ；③ $2^{\sqrt{15}} < 15$ ；④ $3 e l n 2 > 4 \sqrt{2}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x e^{x}$ 的极值点为．

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14. 在 ${(x - 3)}^{4} {(\sqrt{5} + y)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y^{3}$ 的系数为．

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15. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：
月份代码 $x$
1
2
3
4
5
碳酸锂价格 $y$ （万元/kg）
0.5
0.6
1
$m$
1.5
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.28 x + a$ ，根据数据计算出在样本点 $(5 ， 1.5)$ 处的残差为 $- 0.06$ ，则表中 $m =$ ．

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16. 一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、黄球和绿球，其中黄球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出黄球即停．记拿出的绿球个数为 $ξ$ ，且 $P (ξ = 0) = \frac{1}{4}$ ，则随机变量 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ) =$ ．

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三、解答题

17. 在10件产品中，有4件次品，从这10件产品中任意抽出3件．

(1)、抽出的3件中恰好有2件是次品的抽法有多少种？

(2)、若已知抽出的3件中至少有1件是次品，那么抽出的3件中恰好有2件是次品的概率是多少？

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 4 a x + 12$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线与直线 $2 x - 4 y + 3 = 0$ 垂直，求a的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 6]$ 上单调递减，求a的取值范围．

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19. 用 $0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，$ 这七个数字，完成下面三个小题．

(1)、用以上七个数字能组成多少个三位数偶数（允许有重复数字）？

(2)、用以上七个数字能组成多少个无重复数字的能被5整除的四位数？

(3)、已知椭圆方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，其中 $a ， b \in {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则满足焦距不小于 $8$ 的不同椭圆方程有多少个？

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20. 在A城市有一座东西方向的小桥，桥总长为12米．甲、乙两人在桥上玩一个小游戏，甲站在桥的正中间，乙站在桥的东桥头，背对着甲开始报数，每报一个数，甲等可能地向东或向西移动1米，且每次移动相互独立，最后由乙去猜测甲与自己的距离．已知乙一共报了6个数．

(1)、若乙猜测甲距离自己还是6米，那么乙猜对的概率是多少？

(2)、设最后甲与乙之间的距离为Y米，求均值 $E (Y)$ ．

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21. 某企业需要一批配件，由A，B两个工厂分别生产，该配件的一项检测指标为内径尺寸（单位：mm），规定内径尺寸值在 $[19.95 ， 20.10)$ mm的配件为合格品，现从两个工厂生产的配件中各抽取了500件，检测其内径尺寸，得结果如下表：
A工厂：
分组
[19.80，19.85）
[19.85，19.90）
[19.90，19.95）
[19.95，20.00）
[20.00，20.05）
[20.05，20.10）
[20.10，20.15）
[20.15，20.20）
频数
22
43
70
122
104
75
43
21
B工厂：
分组
[19.80，19.85）
[19.85，19.90）
[19.90，19.95）
[19.95，20.00）
[20.00，20.05）
[20.05，20.10）
[20.10，20.15）
[20.15，20.20）
频数
4
54
82
118
105
79
48
10
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

(1)、试分别估计A，B两工厂生产的配件的合格率，由此能否判断哪个工厂生产的配件质量较好；

(2)、完成下列的列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，分析A，B两工厂生产的配件是否有差异．
产品
生产工厂
合计
A工厂
B工厂
合格品
次品
合计

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22. 已知函数 $f (x) = 2 l n x + \frac{1}{2} a^{2} x^{2} - 3 a x + 2$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = 0$ ，且斜率为k的直线与函数 $f (x)$ 的图象交于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $k > 0$ 且 $(k x_{1} - 2) (k x_{2} - 2) < 0$ ．

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月份代码 $x$	1	2	3	4	5
碳酸锂价格 $y$ （万元/kg）	0.5	0.6	1	$m$	1.5

分组	[19.80，19.85）	[19.85，19.90）	[19.90，19.95）	[19.95，20.00）	[20.00，20.05）	[20.05，20.10）	[20.10，20.15）	[20.15，20.20）
频数	22	43	70	122	104	75	43	21

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

产品	生产工厂		合计
产品	A工厂	B工厂	合计
合格品
次品
合计

$X$	1	2	3
$P$	$\frac{1}{3}$	$m$	$n$