高中数学人教A版（2019）必修一第二章不等式的综合测试

试卷更新日期：2022-08-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 不等式 $3 x^{2} - x - 2 \geq 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - \frac{2}{3} \leq x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{2}{3}}$ C、 ${x | x \leq - \frac{2}{3} 或 x \geq 1}$ D、 ${x | x \leq - 1 或 x \geq \frac{2}{3}}$

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2. 若 $b < a < 0$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ B、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2$ C、 $b^{2} < a^{2}$ D、 $l n (- b) < l n (- a)$

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3. 若 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且 $3 a + b = 1$ .则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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4. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $2 a + 5 b = 10$ ，则 $a b$ 的最大值为（）

A、2 B、5 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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5. 若 $x_{1} 、 x_{2}$ 是方程 $2 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、2 C、4 D、8

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6. 若 $x \geq 1$ ，则 $x + \frac{5}{4 x}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、5

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7. 已知 $a ＞ 0 ， b ＞ 0$ ，且直线 $a x + b y - 3 = 0$ 始终平分圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y = 0$ 的周长，则 $\frac{1}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值是（）

A、2 B、 $\frac{16}{3}$ C、6 D、16

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8. 当 $0 < x < 2$ 时， $x (2 - x)$ 的最大值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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9. 任意 $x \in R$ ，下列式子中最小值为2的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ B、 $2^{x} + 2^{- x}$ C、 $x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

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10. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{x}{y + 1}$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{1}{2} + \frac{5 \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11. 设 $a > 0$ ，则 $2 a + \frac{a + 2}{a}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{a + 4}$ B、2 C、4 D、5

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b + 2 a b = 8$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、6

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二、填空题

13. 已知x> $\frac{1}{2}$ ，则 $2 x + \frac{49}{2 x - 1}$ 的最小值为．

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14. 已知方程 $x^{2} + 2 x - 4 = 0$ 的两个根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值为.

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15. 若正数a，b满足 $a b + 2 a + b = 7$ ，则 $a + b$ 的最小值是．

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16. 已知正数a，b，c满足 $a > b > c$ ，且 $a - c = 2$ ，则 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c}$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知关于x的实系数一元二次方程 $x^{2} + k x + 3 = 0$ 有两个虚根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ .

(1)、求k的取值范围；

(2)、若 $| x_{1} - x_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，求k的值.

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18. 新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备 $x$ 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入 $f (x)$ （单位：万元）与年产量 $x$ （单位：万台）的函数关系式近似满足： $f (x) = {\begin{array}{l} 180 - 2 x ， 0 < x \leq 18 \\ 70 + \frac{2650}{x} - \frac{27000}{x^{2}} ， 18 < x \leq 32 \end{array}$

(1)、写出年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；

(2)、当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？

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19. 已知集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 \leq 0}$ ．集合 $B = {x | \frac{x - 1}{x - 6} < 0}$ ，设集合 $I = (∁_{R} A) ∩ B$ ．

(1)、求I；

(2)、当 $x \in I$ 时，求函数 $f (x) = x + \frac{9}{x - 1}$ 的最小值．

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20. 已知正数x、y满足x+2y=1，求 $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ 的最小值，并求出 $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ 取到最小值时x、y的值.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x + 1$ ．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a + 1 - x$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 在 $x \in [- 2 ， 0)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 已知关于x的不等式 $x^{2} - 2 a x - 8 a^{2} < 0$ ， $a > 0$ .

(1)、若 $a = \frac{5}{2}$ ，解不等式；

(2)、若不等式的解集为 $(x_{1} ， x_{2}) (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{2} - x_{1} \leq 12$ .求a的取值范围.

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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 不等式的综合测试

一、单选题

二、填空题

三、解答题

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