四川省成都市2023届高三理数摸底测试试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x \in N | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {x | | x | \leq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

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2. 复数 $z = \frac{1 - i}{i} + 2 i$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x \\ x + y \geq 1 \\ 2 x - y \leq 2 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、4 D、6

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4. 设 $a = l n \frac{1}{3}$ ， $b = {(\frac{1}{2})}^{0.3}$ ， $c = l o g_{2} 3$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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5. 从某小区随机抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50~300kW·h之间，适当分组（每组为左闭右开区间）后绘制成如图所示的频率分布直方图．则直方图中x的值以及在被调查的用户中月用电量落在区间 $[100 ， 250)$ 内的户数分别为（）

A、0.0046，72 B、0.0046，70 C、0.0042，72 D、0.0042，70

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + a ， x \leq 0 ， \\ 2^{x} ， x > 0 . \end{array}$ 若 $f [f (- 1)] = 4$ ，且 $a > - 1$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、0 C、1 D、2

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7. 已知焦距为4的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 垂直，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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8. 若函数 $f (x) = k x - 2 l n x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1]$ D、 $(0 ， 2]$

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9. 赵爽是我国古代著名数学之家，他用于证明勾股定理的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小四边形A₁B₁C₁D₁构成，如图所示．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，若在“赵爽弦图”中随机取一点，则该点取自四边形A₁B₁C₁D₁区域内的概率为（）

A、 $\frac{9}{25}$ B、 $\frac{1}{25}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

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10. 若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9， $2 m - 1$ ， 17， $2 n - 1$ 的平均数和方差分别为（）

A、13，4 B、14，4 C、13，8 D、14，8

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11. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，M，N分别为 $B B_{1}$ ， $C D$ 的中点．有下列结论：
①三棱锥 $A_{1} - M N D_{1}$ 在平面 $D_{1} D C C_{1}$ 上的正投影图为等腰三角形；②直线 $M N / /$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；③在棱BC上存在一点E，使得平面 $A E B_{1} ⊥$ 平面 $M N B$ ；④若F为棱AB的中点，且三棱锥 $M - N F B$ 的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为 $\sqrt{6} π$ ．
其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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12. 若正实数 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x e^{x} - x - e^{2}$ 的一个零点， $x_{2}$ 是函数 $g (x) = (x - e) (l n x - 1) - e^{3}$ 的一个大于 $e$ 的零点，则 $\frac{x_{1} (x_{2} - e)}{e^{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e^{2}}$ C、e D、 $e^{2}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m)$ ， $\vec{b} = (n ， 4)$ ，其中m， $n \in R$ ．若 $\vec{b} = 2 \vec{a}$ ，则 $m + n$ 的值为．

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14. 记函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ．若 $f (x) = f^{'} (1) x^{2} - \frac{1}{x}$ ，则 $f^{'} (- 1)$ 的值为．

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15. 设直线 $l ： {\begin{array}{l} x = 1 + \frac{1}{2} t ， \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）与抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 相交于A，B两点，点 $M (1 ， 0)$ ．则 $| M A | + | M B |$ 的值为．

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16. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以坐标原点O为圆心，线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若 $| A F_{1} | \leq 2 | A F_{2} |$ ，则椭圆C的离心率的取值范围为．

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三、解答题

17. 设函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + (a - 1) x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．若函数 $f (x)$ 的图象在 $x = 0$ 处的切线与x轴平行．

(1)、求a的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

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18. 某建设行政主管部门对辖区内A，B，C三类工程共120个项目进行验收评估，规定评估分数在85分及其以上的项目被确定为“验收合格”项目，未达到85分的项目被确定为“有待整改”项目．现通过分层抽样的方法获得了三类工程的12个项目，其评估分数如下：
A类：88，90，86，87，79；B类：85，82，91，74，92； C类：84，90．

(1)、试估算A，B，C这三类工程中每类工程项目的个数；

(2)、在选取的样本中，从B类的5个工程项目中随机选取2个项目进行深度调研，求选出的2个项目中既有“验收合格”项目，又有“有待整改”项目的概率．

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， D为PC上一点，且 $P C = 3 P D$ ， $P C ⊥ B D$ ．

(1)、求AC的长；

(2)、若E为AC的中点，求二面角 $D - B E - A$ 的余弦值．

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F_{2}$ ，上顶点为H，O为坐标原点， $∠ O H F_{2} = 30 °$ ，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆E上．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设经过点 $F_{2}$ 且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点 $P (- 2 ， 0)$ ， $Q (2 ， 0)$ ．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记 $△ M P Q$ ， $△ N P Q$ 的面积分别为 $S_{△ M P Q}$ ， $S_{△ N P Q}$ ，求 $\frac{S_{△ M P Q}}{S_{△ N P Q}}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + c o s x$ ．

(1)、证明： $f (x) \geq 1$ ；

(2)、设函数 $g (x) = (s i n x + c o s x - 2 x - 2) e^{- x}$ ， $F (x) = a f (x) + g (x)$ ，其中 $a \in R$ ．若函数 $F (x)$ 存在非负的极小值，求a的取值范围．

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22. 如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 所在圆的圆心分别为 $O_{1} (1 ， \frac{π}{2})$ ， $O_{2} (1 ， \frac{3 π}{2})$ ， M是半圆弧 $C_{1}$ 上的一个动点．

(1)、当 $∠ M O O_{1} = \frac{π}{6}$ 时，求点M的极坐标；

(2)、以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴， $\vec{O O_{1}}$ 的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．若点N为线段 $M O_{2}$ 的中点，求点N的轨迹方程．

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