山西省大同市2023届高三上学期数学第一次学情调研试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}, B = {- 3, 0, 2, 3}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${- 3, 3}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${- 1, 1}$ D、 ${- 3, - 2, - 1, 1, 3}$

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2. 若复数z满足 $(1 + z) \cdot i = 1 - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $| z | =$ （）.

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，E为 $A C$ 上一点， $\vec{A C} = 3 \vec{A E}$ ， P为 $B E$ 上任一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m > 0 ， n > 0)$ ，则 $\frac{3}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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4. 已知 $a = {(\frac{4}{5})}^{\frac{2}{3}} ， b = {(\frac{2}{3})}^{\frac{4}{3}} ， c = l o g_{2} 3$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = m + 2 \times 3^{n}$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、2 C、1 D、-1

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6. 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形 $A O B$ 的面积是（O为坐标原点）（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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7. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（）

A、56 B、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ C、 $28 \sqrt{2}$ D、 $\frac{56}{3}$

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8. 函数 $f (x)$ = $c o s (ω x + φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(k π - \frac{1}{4} ， k π + \frac{3}{4}) ， k \in Z$ B、 $(2 k π - \frac{1}{4} ， 2 k π + \frac{3}{4}) ， k \in Z$ C、 $(k - \frac{1}{4} ， k + \frac{3}{4}) ， k \in Z$ D、 $(2 k - \frac{1}{4} ， 2 k + \frac{3}{4}) ， k \in Z$

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9. 高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（）

A、72 B、144 C、48 D、36

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10. 如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $A D ⊥ A A_{1}$ ， $A D ⊥ A B$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ， M，N分别是棱 $A B$ 和 $B C$ 的中点，则下列说法中不正确的是（）

A、 $A_{1} ， C_{1} ， M ， N$ 四点共面 B、 $B_{1} N$ 与 $A B$ 共面 C、 $A D ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ D、 $A_{1} M ⊥$ 平面 $A B C D$

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11. 函数 $f (x) = \frac{6}{e^{x} + 1} + \frac{m x}{| x | + 1}$ 的最大值为M，最小值为N，则 $M + N =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、与m值有关

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12. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，点P在E上， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交x轴于点D，若 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3} ， | P F_{1} | + | P F_{2} | = 8$ ，且 $P D = \sqrt{3}$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

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二、填空题

13. 在 ${(x + \frac{2}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．

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14. 已知 $f (x) = \frac{e^{2 x} + a}{e^{x}}$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(b ， f (b))$ 处的切线方程为 $y = 2 x$ ，则 $a + b =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $2 b c o s A = a + 2 c$ ，且 $b = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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16. 球内接直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1} ， A B = A C = 1 ， ∠ B A C = 120 ° ， A A_{1} = 2$ ，则球表面积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} + 2 = 2 a_{n} (n \in N^{+})$ .

(1)、证明：数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列；

(2)、设数列 ${\frac{2^{n}}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $\frac{2}{3} \leq T_{n} < 1$ .

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a c o s C = 2 b c o s A - c c o s A$ .

(1)、若 $c o s C = \frac{\sqrt{21}}{7} ， a = \sqrt{21}$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、延长 $A C$ 至点D，连接 $B D$ ，满足 $B D = 2$ ，且 $△ A B D$ 为锐角三角形，求 $A B + A D$ 的取值范围.

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19. 袋中有大小､质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4.

(1)、从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列；

(2)、从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列､数学期望和方差.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C ， A D ⊥ C D ， △ A P D$ 是等腰直角三角形， $∠ P A D$ 是底角.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ .

(2)、若 $A D = C D = 2 B C = 2$ ，求二面角 $A - P C - B$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + a l n (- x)}{e^{x}} (x < 0)$ .

(1)、设 $g (x) = e^{x} f (x) + x^{2} + x$ 在 $[- 2 ， 0)$ 上单调递减，求a的取值范围；

(2)、当 $0 < a < 1 - e^{- \frac{1}{3}}$ 时，证明： $\forall x \in (- ∞ ， - e^{- 1}] ， f (x) > 1$ 恒成立.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，点F到左顶点的距离为3.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知四边形 $A B C D$ 为椭圆的内接四边形，若边 $A B$ 过坐标原点，对角线交点为右焦点F，设 $A B ， C D$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，试分析 $\frac{k_{2}}{k_{1}}$ 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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