湖北省武汉市江汉区2023届高三上学期数学7月新起点考试试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 5 \leq x \leq - 1}$ ， $B = {x | x^{2} + 2 x - 3 > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、[－5，－3） B、 $(- ∞ ， - 1) \cup [1 ， + ∞)$ C、（－5，－3] D、 $(- \infty ， - 1] ∪ (1 ， + \infty)$

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2. 在复平面内，复数 $\frac{- 1 + i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 某校高三数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：28，29，42，32，41，56，45.48，55，59，则这组数据的第80百分位数为（）

A、54.5 B、55 C、55.5 D、56

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4. 若二项式 ${(x + \frac{a}{x})}^{7}$ 的展开式中 $\frac{1}{x^{3}}$ 的系数是84，则实数 $a =$ （）

A、2 B、 $\sqrt[5]{4}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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5. 若函数 $f (x) = a l n x - \frac{b}{x}$ 在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 2022年7月，台风“暹芭”登陆我国.某兴趣小组为了解台风“暹芭”对本市降雨量的影响，在下雨时，用一个圆台形的容器接雨水.已知该容器上底直径为56cm，下底直径为24cm，容器深18cm，若容器中积水深9cm，则平地降雨量是（）（注：平地降雨量等于容器中积水体积除以容器的上底面积）

A、2cm B、3cm C、4cm D、5cm

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7. 已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $Γ$ 交于A，B两点.若 $| A F_{2} | = 3 | F_{2} B |$ ， $| A B | = 2 | A F_{1} |$ ，则 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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8. 若 $x + y - 1 = e^{x} + 2 l n \frac{y}{2}$ ，其中 $x > 2$ ， $y > 2$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、 $2 x > y$ B、 $2 e^{\frac{x}{2}} > y$ C、 $x > y$ D、 $2 e^{x} > y$

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二、多选题

9. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $M ， N$ 分别是 $A_{1} D$ ， $D_{1} B$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D ⊥ D_{1} B$ B、 $A_{1} D / / D_{1} B$ C、 $M N / /$ 平面A₁B₁C₁D₁ D、 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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10. 若 $\frac{c^{3}}{a} ＜ \frac{c^{3}}{b} ＜ 0$ ，则（）

A、 $| a | ＜ | b |$ B、 $a c ＜ b c$ C、 $\frac{a - b}{c} > 0$ D、 $0 ＜ \frac{a}{b} ＜ 1$

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11. 设函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 在[0，2π]有且仅有5个零点，则（）

A、 $f (x)$ 在（0，2π）有且仅有3个极大值点 B、 $f (x)$ 在（0，2π）有且仅有2个极小值点 C、 $f (x)$ 在（0， $\frac{π}{10}$ ）单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是[ $\frac{7}{3}$ ， $\frac{17}{6}$ ）

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = \frac{1}{2} (3 a_{n - 1} + \sqrt{5 a_{n - 1}^{2} + 4}) (n \geq 2)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} ， a_{n + 1} ， a_{n + 2}$ 成等差数列 B、 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - a_{n - 1} (n \geq 2)$ C、 $2^{n - 1} \leq a_{n} \leq 3^{n - 1} (n \in N^{*})$ D、 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} ， a_{n + 1} ， a_{n + 2}$ 一定不成等比数列

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三、填空题

13. 已知 $\vec{A B} = (2 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (1 ， t)$ ， $| \vec{B C} | = 1$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ .

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14. 写出一条同时满足下列条件①②的直线l：.①经过点（ $\sqrt{2}$ ， 1）；②与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 有且只有一个公共点.

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15. 一电器商城出售的某种家电产品来自甲､乙､丙三家工厂，这三家工厂的产品比例为 $1 ： 2 ： 1$ ，且它们的产品合格率分别为96%，95%，98%，现从该商城的这种家电产品中随机抽取一件，则取到的产品是合格品的概率为.

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16. 已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为 $36 π$ ，则该正三棱锥体积的最大值为.

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四、解答题

17. 记 $S_{n}$ 为数列{ $a_{n}$ }的前 $n$ 项和，已知 $S_{n} = n a_{n} - n^{2} + n$

(1)、证明：{ $a_{n}$ }是等差数列；

(2)、若 $a_{1}$ ， $a_{4}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，求 $\frac{S_{n} + 9}{n}$ 的最小值.

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18. $△$ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $b = 7$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、若 $c = 3$ ，求 $△$ ABC的面积；

(2)、若 $4 s i n^{2} A + c o s^{2} C = 1$ ，求 $△$ ABC的周长.

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19. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为正方形， $B A = B C = 2$ ， D，E，F分别为AC，BC， $C C_{1}$ 的中点， $B F ⊥ B_{1} D$ .

(1)、证明：平面 $B_{1} D E$ ⊥平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(2)、求平面 $B C_{1} D$ 与平面 $B_{1} D E$ 夹角的余弦值.

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20. 为应对气候变化，我国计划在2030年前实现碳排放量到达峰值，2060年前实现“碳中和”.某市为了解本市企业碳排放情况，从本市320家年碳排放量超过2万吨的企业中随机抽取50家企业进行了调查，得到如下频数分布表，并将年碳排放量大于18万吨的企业确定为“超标”企业：
硫排放量X
[2.55.5）
[5.5，8.5）
[8.5，115）
[115，14.5）
[14.5.175）
[175，20.5）
[20.523.5）
频数
5
6
9
12
8
6
4
（参考数据：若X~ $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .）

(1)、假设该市这320家企业的年碳排放量大致服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均值 $\bar{x}$ ， $σ^{2}$ 近似为样本方差 $s^{2}$ ，经计算得 $\bar{x} \approx 12.8$ ， $s \approx 5.2$ .试估计这320家企业中“超标”企业的家数；

(2)、通过研究样本原始数据发现，抽取的50家企业中共有8家“超标”企业，市政府决定对这8家“超标”企业进行跟踪调查，现计划在这8家“超标”企业中任取5家先进行跟踪调查，设Y为抽到的年碳排放量至少为20.5万吨的企业家数，求Y的分布列与数学期望.

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21. 已知动圆 $C$ 过定点 $A (2 ， 0)$ ，且在 $y$ 轴上截得的弦长为4，圆心 $C$ 的轨迹为曲线 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程：

(2)、过点 $P (1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $F$ 相交于 $M ， N$ 两点.设 $\vec{P N} = λ \vec{M P}$ ，若 $λ \in [2 ， 3]$ ，求 $l$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a (x + 1)$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是函数 $y = f (x)$ 的两个极值点.
①求实数a的取值范围；
②求证： $f (x_{1}) + f (x_{2}) > - \frac{4}{e}$ .

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硫排放量X	[2.55.5）	[5.5，8.5）	[8.5，115）	[115，14.5）	[14.5.175）	[175，20.5）	[20.523.5）
频数	5	6	9	12	8	6	4