湖北省九校教研协作体2023届高三上学期起点考试数学试题

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {1 ， 2 ， ⋯ ， 2022}$ ，集合 $S$ 是集合A的非空子集， $S$ 中最大元素和最小元素的差称为集合 $S$ 的长度，那么集合 $S$ 所有长度为73的子集的元素个数之和为（）

A、 $2^{72} \cdot 38 \cdot 1949$ B、 $2^{74} \cdot 1949$ C、 $2^{73} \cdot 37 \cdot 1949$ D、 $2^{70} \cdot 76 \cdot 1949$

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2. 设 $x_{1} ， x_{2}$ 是实系数一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根，若 $x_{1}$ 是虚数， $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}$ 是实数，则 $A = 1 + (\frac{x_{1}}{x_{2}}) + {(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{2} + {(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{4} + {(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{8} + {(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{16} + {(\frac{x_{1}}{x_{2}})}^{32}$ （）

A、0 B、-1 C、-2 D、1

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3. 已知△ABC中， $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ， ${| \vec{A B} + λ \vec{B C} |}_{m i n} = 2 (λ \in R)$ ， $\vec{A M} = 2 \vec{M B}$ ， $\vec{A P} = s i n^{2} α \cdot \vec{A B} + c o s^{2} α \cdot \vec{A C}$ ， $α \in [\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，则 $| \vec{M P} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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4. 如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念，何尊的形状可近似看作是圆台和圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，经测量可知圆台的高约为16cm，圆柱的底面直径约为18cm，则该组合体的体积约为（）（其中 $π$ 的值取3）

A、11280cm³ B、12380cm³ C、12680cm³ D、12280cm³

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5. 小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）

A、20160 B、20220 C、20280 D、20340

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6. 已知正实数C满足：对于任意 $θ$ ，均存在 $i ， j \in Z ， 0 \leq i \leq j \leq 255$ ，使得 $| c o s^{2} θ - \frac{i}{j} | \leq C$ ，记C的最小值为 $λ$ ，则（）

A、 $\frac{1}{2000} < λ < \frac{1}{1000}$ B、 $\frac{1}{1000} < λ < \frac{1}{500}$ C、 $\frac{1}{500} < λ < \frac{1}{200}$ D、 $\frac{1}{200} < λ < \frac{1}{100}$

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7. 已知 $a = e^{0.2} - 1 ， b = l n 1.2 ， c = t a n 0.2$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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8. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表面上有四个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ ，且球心 $O$ 在 $P C$ 上， $A C = B C = 4$ ， $A C ⊥ B C$ ， $t a n ∠ P A B = t a n ∠ P B A = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则该鞠（球）的表面积为（）

A、9π B、18π C、36π D、64π

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二、多选题

9. 如图，ABCD是边长为5的正方形，半圆面APD⊥平面ABCD．点P为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上一动点（点P与点A，D不重合）．下列说法正确的是（）

A、三棱锥P－ABD的四个面都是直角三角形 B、三棱锥P一ABD体积的最大值为 $\frac{125}{4}$ C、异面直线PA与BC的距离为定值 D、当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P－ABCD外接球的截面面积为 $\frac{25 (3 - \sqrt{2}) π}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = x (l n x - a x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则下列选项正确的有（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、函数 $f (x)$ 有两个零点 C、 $x_{1} + x_{2} > 2$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2 x_{1} x_{2}$

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11. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的虚轴长为2， $F_{1} ， F_{2}$ 为其左右焦点， $P ， Q ， R$ 是双曲线上的三点，过P作 $C$ 的切线交其渐近线于 $A ， B$ 两点.已知 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心 $I$ 到 $y$ 轴的距离为1.下列说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 外心 $M$ 的轨迹是一条直线 B、当 $a$ 变化时， $△ A O B$ 外心的轨迹方程为 $x^{2} + a^{2} y^{2} = \frac{{(a^{2} + 1)}^{2}}{4}$ C、当 $P$ 变化时，存在 $Q ， R$ 使得 $△ P Q R$ 的垂心在 $C$ 的渐近线上 D、若 $X ， Y ， Z$ 分别是 $P Q ， Q R ， P R$ 中点，则 $△ X Y Z$ 的外接圆过定点

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (x + 1) e^{x} ， x < 0 \\ \frac{{(x + 1)}^{2}}{e^{x}} ， x \geq 0 \end{array}$ ，下列选项正确的是（）

A、函数f（x）在（－2，1）上单调递增 B、函数f（x）的值域为 $[- \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ C、若关于x的方程 ${[f (x)]}^{2} - a | f (x) | = 0$ 有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 $(\frac{1}{e^{2}} ， \frac{4}{e})$ D、不等式 $f (x) - a x - a > 0$ 在 $(- 1 ， + \infty)$ 恰有两个整数解，则实数a的取值范围是 $(\frac{3}{e^{2}} ， \frac{2}{e})$

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三、填空题

13. 已知 $y ， f ， d$ 为正整数， $f (x) = (1 + x)^{y} + (1 + x)^{f} + (1 + x)^{d}$ .其中 $x$ 的系数为10，则 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和为.

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14. 如图，经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ 相交于A，C，B，D四点，M为弦AB的中点，有下列结论：
①弦AC长度的最小值为 $4 \sqrt{5}$ ；
②线段BO长度的最大值为 $10 - \sqrt{5}$ ；
③点M的轨迹是一个圆；
④四边形ABCD面积的取值范围为 $[20 \sqrt{5} ， 45]$ ．
其中所有正确结论的序号为．

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15. 已知函数 $f (x) = 4 e l n x - \frac{x^{2}}{x - e l n x} + m x$ 存在4个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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16. 阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ．若已知△ABC内接于椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则 $\frac{S_{△ D E F}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + \sqrt{a_{n}} + 1}$ （其中 $n \in N^{*}$ ）

(1)、判断并证明数列 ${a_{n}}$ 的单调性；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $\frac{3}{2} < S_{2021} < \frac{5}{2}$ ．

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18. 如图，在平面四边形ABCD中， $D C = 2 A D = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $∠ B D C = \frac{π}{6}$ ．

(1)、若 $\cos ∠ A B D = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，求 $△ A B D$ 的面积；

(2)、若 $∠ C = ∠ A D C$ ，求BC．

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19. 查找并阅读关于蜂房结构的资料，建立数学模型说明蜂房正面采用正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成（菱形的锐角为 $70 ° 3 2^{'}$ ，钝角为 $109 ° 2 8^{'}$ ）的原因．

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20. 某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布 $N (68 ， 36)$ .

(1)、一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm的概率；

(2)、为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进.如图是2009年至2018年，该果园每年的投资金额 $x$ （单位：万元）与年利润增量 $y$ （单位：万元）的散点图：
该果园为了预测2019年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了 $y$ 关于 $x$ 的两个回归模型；
模型①：由最小二乘公式可求得 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程： $\hat{y} = 2.50 x - 2.50$ ；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线： $y = b l n x + a$ 的附近，对投资金额 $x$ 做交换，令 $t = l n x$ ，则 $y = b \cdot t + a$ ，且有 $\sum_{i = 1} t_{i} = 22.00$ ， $\sum_{i = 1} y_{i} = 230$ ， $\sum_{i = 1} t_{i} y_{i} = 569.00$ ， $\sum_{i = 1} {t_{i}}^{2} = 50.92$ .
（I）根据所给的统计量，求模型②中 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
（II）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 $R^{2}$ ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）.
回归模型
模型①
模型②
回归方程
$\hat{y} = 2.50 x - 2.50$
$\hat{y} = b l n x + a$
$\sum_{i = 1} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$
102.28
36.19
附：若随机变量 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ ；样本 $(t_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ 的最小乘估计公式为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ；
相关指数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1} {(y_{i} - \hat{y})}^{2}}{\sum_{i = 1} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ .
参考数据： $0.977 2^{20} \approx 0.6305$ ， $0.998 7^{20} \approx 0.9743$ ， $l n 2 \approx 0.6931$ ， $l n 5 \approx 1.6094$ .

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21. 抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l ，$ A为C上的一点，已知以 $F$ 为圆心， $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B ， D$ 两点，

(1)、若 $∠ B F D = 9 0^{∘} ， △ A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程

(2)、若直线 $y = k x + b$ 与抛物线C交于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，准线 $l$ 与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求 $| F T |$ |的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = \frac{e}{2 x} + l n x (x > 0)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $a ， b \in R$ ，曲线 $y = f (x)$ 上不同的三点 $(x_{1} ， f (x_{1})) ， (x_{2} ， f (x_{2})) ， (x_{3} ， f (x_{3}))$ 处的切线都经过点 $(a ， b)$ ．证明：
（ⅰ）若 $a > e$ ，则 $0 < b - f (a) < \frac{1}{2} (\frac{a}{e} - 1)$ ；
（ⅱ）若 $0 < a < e ， x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{2}{e} + \frac{e - a}{6 e^{2}} < \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{3}} < \frac{2}{a} - \frac{e - a}{6 e^{2}}$ ．
（注： $e = 2.71828 ⋯$ 是自然对数的底数）

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回归模型	模型①	模型②
回归方程	$\hat{y} = 2.50 x - 2.50$	$\hat{y} = b l n x + a$
$\sum_{i = 1} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}$	102.28	36.19