湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | x \geq 1 ， x \in N}$ ， $Q = {x | 2^{x} \leq 8}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、{x| $1 \leq x < 4$ } B、{x|1≤x<3} C、{1，2} D、{1，2，3}

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2. 设复数z满足 $z - \bar{z} = 2 i$ ， $| z | = 2$ ，复数z所对应的点位于第一象限，则 $\frac{1}{z} =$ （）

A、 $\frac{1 + \sqrt{3} i}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - i}{4}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + i}{4}$

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3. 若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（）

A、事件A发生的概率 B、事件B发生的概率 C、事件B不发生条件下事件A发生的概率 D、事件A、B同时发生的概率

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4. 已知实数 $m ， n$ ，函数 $f (x) = x^{2} + m x + n$ ，满足 $f (2) \cdot f (3) \leq 0$ ，则 $m^{2} + 2 m n$ 的最大值为（）

A、 $\frac{16}{3}$ B、 $\frac{81}{5}$ C、 $\frac{81}{3}$ D、 $\frac{16}{5}$

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5. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知，且 $a_{n + 1} = \frac{3}{4 a_{n} + 2} + \frac{1}{2}$ ，则以下结论成立的是（）

A、 $a_{6} < 1$ B、 $a_{7} > 1$ C、 $a_{8} > 1$ D、 $a_{9} > 1$

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6. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的点到圆 $x^{2} + (y - 6)^{2} = 1$ 上的点的距离的最大值是（）

A、11 B、 $\sqrt{74}$ C、 $5 \sqrt{5}$ D、9

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7. 恰有一个实数 $x$ 使得 $x^{3} - a x - 1 = 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \sqrt[3]{2})$ B、 $(- \infty ， \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2})$ C、 $(\frac{3 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \infty ， \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

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8. 已知四面体 $D - A B C$ 中， $A C = B C = A D = B D = 1$ ，则 $D - A B C$ 体积的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{27}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{8}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{18}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = | x | + | x |^{\frac{1}{2}} - c o s x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在（0，+∞）上单调递减 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ ≥-1恒成立

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10. [多选题]已知抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 的焦点为 $F$ ， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{16}$ C、若 $\vec{M F} = λ \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $| M F | + | N F | = \frac{3}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{5}{8}$

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11. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，O为正方体的中心，M为 $D D_{1}$ 的中点，F为侧面正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，且满足 $B_{1} F / /$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、若P为正方体表面上一点，则满足 $△ O P A$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的点有12个 B、动点F的轨迹是一条线段 C、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积是随点F的运动而变化的 D、若过A，M， $C_{1}$ 三点作正方体的截面 $Ω$ ， Q为截面 $Ω$ 上一点，则线段 $A_{1} Q$ 长度的取值范围为 $[\frac{2 \sqrt{6}}{3} ， 2 \sqrt{2}]$

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12. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l ： b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、 $C$ 的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 a^{2}$ C、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - | A F_{2} |$ 的最小值为 $\frac{(4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{2}) b}{3}$ D、若矩形 $M N G H$ 的四条边均与 $C$ 相切，则矩形 $M N G H$ 的面积的最大值为 $8 b^{2}$

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三、填空题

13. 已知 $(2 a + \sqrt{4 a^{2} + 1}) (b + \sqrt{b^{2} + 1}) = 1 ，则 2 a + b + \frac{b^{2} - 4 a^{2}}{\sqrt{4 a^{2} + 1} - \sqrt{b^{2} + 1}}$ 的最大值为，此时 $a + b =$ .

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14. 如图， $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ 是全等的等腰直角三角形（ $O B_{1} = \sqrt{2}$ ， $B_{i} (i = 1 ， 2 ， 3)$ 处为直角顶点），且 $O$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 四点共线.若点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 分别是边 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ ， $A_{3} B_{3}$ 上的动点（包含端点），则 $\vec{O B_{1}} \cdot \vec{O P_{3}} =$ ， $\vec{O B_{2}} \cdot \vec{O P_{2}}$ 的取值范围为.

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15. 六名考生坐在两侧各有一条通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完试卷后立即离开座位走出教室.则其中至少有一人交卷时为到达通道而打扰其他尚在考试的同学的概率为 .

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16. 有一个棱长为6的正四面体，其中有一半径为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的球自由运动，正四面体内未被球扫过的体积为

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的外心为 $O$ ， $M ， N$ 为线段 $A B ， A C$ 上的两点，且 $O$ 恰为 $M N$ 中点.

(1)、证明： $| A M | \cdot | M B | = | A N | \cdot | N C |$

(2)、若 $| A O | = \sqrt{3}$ ， $| O M | = 1$ ，求 $\frac{S_{△ A M N}}{S_{△ A B C}}$ 的最大值.

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18. 如图①，在平面五边形 $A B C D E$ 中， $A B C D$ 是梯形， $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ A B C = 9 0^{∘}$ ， $△ A D E$ 是等边三角形.现将 $△ A D E$ 沿 $A D$ 折起，连接 $E B$ 、 $E C$ 得如图②的几何体.

(1)、若点M是ED的中点，求证： $C M / /$ 平面ABE；

(2)、若 $E C = 3$ ，在棱 $E B$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $E - A D - F$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ？若存在，求 $\frac{E F}{E B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1) (\frac{3}{n} a_{n} + 2)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + n$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 微信小程序“党史知识竞赛”中的“答题竞赛”版块有个“双人竞赛”栏目，可满足两人通过回答多个问题的形式进行竞赛.甲，乙两单位在联合开展党史学习教育特色实践活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分.设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为 $\frac{4}{5}$ ，乙单位全部答对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，甲，乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.

(1)、经过1轮比赛，设甲单位的记分为X，求X的分布列和期望；

(2)、若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.

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21. 如图，已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $B (1 ， 0)$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆内切于圆O，点 $A$ 的集合记为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l ： x = 4$ ， $Q (1 ， \frac{3}{2})$ ，过点 $B$ 的直线 $l_{1}$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，与直线 $l$ 交于点 $K$ ，记 $Q M ， Q N ， Q K$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2} ， k_{3}$ ，问： $\frac{k_{1} - k_{2}}{k_{2} - k_{3}}$ 是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 a x + b$ 在 $x = 0$ 处的切线经过点 $(1 ， 2)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 至多有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{2} > 5$ ，求证： $\frac{x_{1}}{x_{2}} > \frac{1}{a} - \frac{1}{a x_{2}}$ .（ $e \approx 2.7 ， e^{2} \approx 7.4 ， e^{3} \approx 20.1$ ）

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