河北省”五个一”名校联盟2023届高三上学期数学摸底试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0} ， B = {2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、{2} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${3 ， 4}$ D、 ${2 ， 3 ， 4}$

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2. 已知 $z = 2 + i$ ，则 $z (\bar{z} - i) =$ （）

A、 $6 + 2 i$ B、 $4 - 2 i$ C、 $6 - 2 i$ D、 $4 + 2 i$

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3. 已知圆锥的高为1，母线长为 $\sqrt{6}$ ，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ D、3

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4. 设 $ω > 0$ ，若函数 $f (x) = 2 c o s (ω x - \frac{π}{2})$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $(1 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[0 ， \frac{3}{2}]$ D、 $(0 ， 1]$

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5. 如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6. 已知 $\frac{π}{8} < β < α < \frac{π}{2}$ ，且 $s i n 2 α s i n \frac{π}{4} - c o s 2 α s i n \frac{5}{4} π = \frac{1}{3}$ ， $s i n 2 β c o s \frac{π}{4} + c o s 2 β s i n \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $s i n (2 α - 2 β)$ 的值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ C、 $- \frac{5 \sqrt{3}}{9}$ D、 $- \frac{\sqrt{6}}{9}$

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7. 若过点 $(m ， n)$ 可以作曲线 $y = l o g_{2} x$ 的两条切线，则（）

A、 $m > l o g_{2} n$ B、 $n > l o g_{2} m$ C、 $m < l o g_{2} n$ D、 $n < l o g_{2} m$

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8. 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”，乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”，丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”，丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”，则下列说法正确的有（）
①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、多选题

9. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从中有放回的取出5个球并记录取球结果，则下列统计结果中可能取出6号球的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，极差为2

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10. 已知 $\vec{a} = (c o s x ， s i n x) ， \vec{b} = (c o s x ， \sqrt{3} c o s x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ B、将函数 $y = s i n x + \frac{1}{2}$ 图像上各点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变），再将所得图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得函数 $f (x)$ 图像 C、函数 $f (x)$ 是奇函数 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， 2 π]$ 内所有零点之和为 $\frac{14 π}{3}$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，P是 $A_{1} D$ 上的一个动点，下列结论中正确的是（）

A、 $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $P A + P C$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ C、当P在直线 $A_{1} D$ 上运动时，三棱锥 $B_{1} - A C P$ 的体积不变 D、以点B为球心， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 为半径的球面与面 $A B_{1} C$ 的交线长为 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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12. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = 1$ 上两点A、B满足 $| A B | \geq \sqrt{2}$ ，点 $M (x_{0} ， 0)$ 满足： $| M A | = | M B |$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $| A B | = \sqrt{2}$ 时， $x_{0} = \frac{1}{2}$ B、当 $x_{0} = 0$ 时，过M点的圆C的最短弦长是 $2 \sqrt{3}$ C、线段 $A B$ 的中点纵坐标最小值是 $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ D、过M点作图C的切线且切点为A，B，则 $x_{0}$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{7}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{7}}{2} ， + \infty)$

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三、解答题

13. 已知函数 $f (x) = (e^{x} - \frac{a}{e^{x}}) c o s^{3} x$ 是偶函数，则 $a =$ ．

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14. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} - a_{n + 1} = 2 a_{n} a_{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，求证： $\frac{1}{3} \leq S_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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15. 某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能正确回答C类问题的概率为0.4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

(1)、若小康按照 $C B A$ 的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；

(2)、相比较小康自选的 $C B A$ 的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照 $A B C$ 的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 4$ ，在
① $(b + c) (s i n B - s i n C) = (s i n A - s i n C) a$ ， ② $c o s 2 (A + C) + 3 c o s B = 1$
两个条件中任选一个完成以下问题：

(1)、求B；

(2)、若D在 $A C$ 上，且 $B D ⊥ A C$ ，求 $B D$ 的最大值．

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17. 如图， $A B C D$ 为圆柱 $O O^{'}$ 的轴截面， $E F$ 是圆柱上异于 $A D ， B C$ 的母线．

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若 $A B = B C = \sqrt{6}$ ，当三棱锥 $B - D E F$ 的体积最大时，求二面角 $B - D F - E$ 的正弦值．

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18. 已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} =$ 1，F₁ ， F₂为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 $\vec{P F_{1}}$ · $\vec{P F_{2}} =$ 0，|PF₁||PF₂|＝6．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、过点F₂作直线 $l$ 交双曲线于A、B两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + a x (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、证明： $\frac{f (e^{x})}{x} \leq f (- \frac{x}{a})$ ．

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四、填空题

20. 设抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设 $C (4 \sqrt{2} ， 0)$ ， $A F$ 与 $B C$ 相交于点D．若 $| C F | = | A F |$ ，则 $△ A C D$ 的面积为．

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21. $\forall x \in R ， | 2 e^{x} - 1 | \geq 2 x + a$ ，则a的最大值为．

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22. 德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对 $1 + 2 + 3 + \dots \dots + 100$ 的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + \sqrt{2}}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = f (0) + f (\frac{1}{n}) + f (\frac{2}{n}) + ⋯ + f (\frac{n - 1}{n}) + f (1) (n \in N^{*})$ ，若 $b_{n} = 2^{n + 1} a_{n}$ ，则 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ ．

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