广东省惠州市2023届高三上学期数学第一次调研试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：开学考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > 0} ， B = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、 ${x | x > - 2}$ B、 ${x | x > 0}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 0}$ D、 ${x | 0 < x \leq 1}$

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2. 设 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = l o g_{\frac{1}{3}} 2$ ， $c = 2^{- 0.1}$ ，则a､b､c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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3. ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为（）

A、480 B、-240 C、240 D、260

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2 \sqrt{3} ， 2)$ ，向量 $\vec{e} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ .则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{e}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 3)$ B、 $(- \sqrt{3} ， 1)$ C、 $(1 ， \sqrt{3})$ D、 $(\frac{1}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{4})$

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2020} > 0$ ，则“ $a_{2021} > a_{2024}$ ”是“ $a_{2022} > a_{2023}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 关于直线 $a x + b y + 1 = 0$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）对称，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、9 C、4 D、8

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7. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图像，如下图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \frac{s i n x}{x}$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{x}$ C、 $f (x) = | s i n x | c o s x$ D、 $f (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + s i n x$

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8. 甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A₁､A₂表示由甲罐取出的球是红球､白球的事件；再从乙罐中随机取出两球，分别用B､C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”､“两球为一红一白”的事件，则下列结论中不正确的是（）

A、 $P (B | A_{1}) = \frac{10}{21}$ B、 $P (C | A_{2}) = \frac{4}{7}$ C、 $P (B) = \frac{19}{42}$ D、 $P (C) = \frac{43}{84}$

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二、多选题

9. 某校举行“永远跟党走､唱响青春梦”歌唱比赛，在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组给参赛选手打分.根据两个评委小组（记为小组A､小组B）对同一名选手打分的分值绘制成折线图如图所示，则（）

A、小组A打分的分值的众数为47 B、小组B打分的分值第80百分位数为69 C、小组A是由专业人士组成的可能性较大 D、小组B打分的分值的方差小于小组A打分的分值的方差

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{3} = 7$ B、数列 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 2 n - 1$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 1$

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11. 关于函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图像的一个对称中心是 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ ． B、函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减； C、直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴； D、将函数 $f (x)$ 的图像沿x轴向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，将得到函数 $g (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{12})$ 的图像．

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12. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P分别是 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ ， $A_{1} A$ 的中点，则（）

A、M，N，B， $D_{1}$ 四点共面 B、异面直线 $P D_{1}$ 与MN所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D、三棱锥 $P - M N B$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 已知 $i$ 是虚数单位，复数z满足 $z (1 - i) = 1 - \sqrt{3} i$ ，则 $| z | =$ .

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14. 在平面直角坐标系xOy中，将向量 $\vec{O P} = (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 按顺时针方向绕原点O旋转 $\frac{π}{3}$ 后得到向量 $\vec{O Q} = (a ， b)$ ，则ab的值为.

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15. 如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等， $A C ∩ B D = O$ ， M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）

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16. 已知抛物线方程 $y^{2} = 8 x$ ， $F$ 为焦点， $P$ 为抛物线准线上一点， $Q$ 为线段 $P F$ 与抛物线的交点，定义： $d (P) = \frac{| \vec{P F} |}{| \vec{F Q} |}$ .已知点 $P (- 2 ， 8 \sqrt{2})$ ，则 $d (P) =$ ；设点 $P (- 2 ， t) (t > 0)$ ，若 $4 d (P) - | \vec{P F} | - k > 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，现有如下三个条件分别为：条件① $a_{5} = 5$ ；条件② $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ；条件③ $S_{2} = - 4$ ；请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.
您选择的条件是____和____.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 12 0^{∘}$ ， $A B = 1$ ， $A C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $B D = \frac{1}{2} D C$ ．

(1)、求 $A D$ 的长；

(2)、求 $c o s ∠ D A C$ ．

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19. 2021年秋季，国家教育部在全国中小学全面开展“双减”，实施“5+2”服务模式.为响应这一政策，某校开设了“篮球”､“围棋”､“文学社”､“舞蹈”四门课后延时服务课程，供500名学生选择学习.经过一个学期的学习后，学校对课后延时服务课程的效果进行调研，随机抽选了50名男生和50名女生，统计数据如下表所示：

兴趣较大
兴趣一般
男生
35
15
女生
30
20
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.100
0.010
0.001
$χ_{α}$
2.706
6.635
10.828

(1)、试依据小概率值 $α = 0.100$ 的独立性检验，分析学生对课后延时服务课程的兴趣是否与性别有关；

(2)、若用频率估计概率，从该校抽选调研的女生中按分层抽样的方式任选5人，再从中选出3人进行深入调研，用 $ξ$ 表示选取的女生兴趣一般的人数，求 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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20. 如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.

(1)、证明：AE⊥平面PCD；

(2)、若 $P A = 4 \sqrt{2}$ ，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线 $B N$ 的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，直线 $A M$ 的斜率为 $3 k$ ，求证：直线 $M N$ 过定点．

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22. 设函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} + a x^{2} - 2 a x ， g (x) = \frac{3 l n x}{x} + 2 a x + \frac{2}{e^{x}} ， a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \in [- 1 ， 0)$ ，求证： $g (x) < 4 a + 3$ ．

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	兴趣较大	兴趣一般
男生	35	15
女生	30	20

$α$	0.100	0.010	0.001
$χ_{α}$	2.706	6.635	10.828