湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = - i \cdot (3 - i)$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则复数|z|等于（）

A、3 B、2 $\sqrt{2}$ C、10 D、 $\sqrt{10}$

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2. 已知 $A (m ， 0) ， B (0 ， 1) ， C (3 ， - 1)$ ，且 $A ， B ， C$ 三点共线，则 $m =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 3$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 4 5^{∘}$ 则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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4. 某校有高一年级学生990人，高二年级学生920人，高三年级学生847人，教职工243人，学校根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为（）

A、99 B、100 C、90 D、80

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5. 设 $α ， β$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α / / β$ ，且l与 $α$ 所成的角和m与 $β$ 所成的角相等，则 $l / / m$

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6. 已知某圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π$ ，该圆锥侧面的展开图是圆心角为 $\frac{2 \sqrt{5} π}{5}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）．

A、 $\frac{2}{3} π$ B、 $\frac{4}{3} π$ C、2π D、 $\frac{8}{3} π$

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7. 如图，在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别为棱 $C C^{'}$ 、 $A B$ 的中点，则异面直线 $A^{'} D^{'}$ 与 $E F$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 对于函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，设 $α \in {x | f (x) = 0}$ ， $β \in {x | g (x) = 0}$ ，若存在 $α$ ， $β$ ，使得 $| α - β | \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 互为“零点相邻函数”，若函数 $f (x) = l n (x - 1) + x - 2$ 与 $g (x) = x^{2} - a x - a + 8$ 互为“零点相邻函数”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{17}{4} ， \frac{9}{2}]$ B、 $[4 ， \frac{9}{2}]$ C、 $[\frac{7}{3} ， 3]$ D、 $[2 ， 4]$

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二、多选题

9. 在锐角三角形ABC中，A，B，C为三个内角，a，b，c分别为A，B，C所对的三边，则下列结论成立的是（）

A、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、若 $A = \frac{π}{3}$ ，则B的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{2})$ C、 $s i n A + s i n B > c o s A + c o s B$ D、 $t a n B t a n C > 1$

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10. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，2个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）

A、若不放回的摸球3次，则恰有2次摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ B、若不放回的摸球2次，则第一次摸到红球的概率为 $\frac{3}{10}$ C、若不放回的摸球2次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为 $\frac{1}{2}$ D、若有放回的摸球3次，仅有前2次摸到红球的概率为 $\frac{18}{125}$

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为1，点 $P$ 为线段 $A_{1} C$ 上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（）

A、当 $\vec{A_{1} C} = 3 \vec{A_{1} P}$ 时， $D_{1} P / /$ 平面 $B D C_{1}$ B、当 $P$ 为 $A_{1} C$ 中点时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的外接球表面为 $\frac{9}{2} π$ C、 $A P + P D_{1}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ D、当 $A_{1} P = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，点 $P$ 是 $△ A B_{1} D_{1}$ 的重心

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12. 钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体．如图，已知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ （上、下底面均为正六边形，侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCDEF，其中正六棱台的上底面边长为a，下底面边长为2a，且P到平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的距离为3a，则下列说法正确的是（）
（台体的体积计算公式： $V = \frac{1}{3} (S_{1} + S_{2} + \sqrt{S_{1} S_{2}}) h$ ，其中 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高）

A、若平面 $P A F ⊥$ 平面 $A F F_{1} A_{1}$ ，则正六棱锥P-ABCDEF的高为 $\frac{3 + \sqrt{15}}{2} a$ B、若 $P A = 2 \sqrt{2} a$ ，则该几何体的表面积为 $\frac{3 \sqrt{3} + 21 \sqrt{7}}{2} a^{2}$ C、该几何体存在外接球，且外接球的体积为 $\frac{500}{81} π a^{3}$ D、若该几何体的上、下两部分体积之比为7：8，则该几何体的体积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{2} a^{3}$

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三、填空题

13. 已知 $x$ ， $y \in R^{*}$ ，若 $x + y + x y = 8$ ，则 $x y$ 的最大值为

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14. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (q ， 1)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影数量等于-1，则 $q =$ .

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15. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $∠ D A B = 60 °$ .将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得点 $A$ 至点 $P$ 的位置，得到四面体 $P - B C D$ .当二面角 $P - B D - C$ 的大小为120°时，四面体 $P - B C D$ 的体积为；当四面体 $P - B C D$ 的体积为1时，以 $P$ 为球心， $P B$ 的长为半径的球面被平面 $B C D$ 所截得的曲线在 $△ B C D$ 内部的长为.

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 中，顶点 $P$ 在底面 $A B C$ 的射影恰好是 $△ A B C$ 内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12，16，20，底面 $A B C$ 的最长边长为10，则点 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为；三棱锥 $P - A B C$ 外接球的直径是.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若____．（请从① $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A s i n B$ ；② $2 a = \sqrt{3} c s i n A + a c o s C$ ；③ $(2 s i n A - s i n B) a = 2 c s i n C + (s i n A - 2 s i n B) b$ 这三个条件中任选一个填入上空）

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 6$ 时，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段 $[90 ， 100)$ ， $[100 ， 110)$ ， …， $[140 ， 150)$ 后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

(1)、求分数在 $[120 ， 130)$ 内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、估计本次考试的第50百分位数；

(3)、用分层抽样的方法在分数段为 $[110 ， 130)$ 的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段 $[120 ， 130)$ 内的概率．

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19. 如图所示，已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，侧棱 $P A = P C = 3$ ， $P B = P D$ ，过点A的平面与侧棱PB，PD，PC相交于点E，F，M，且满足： $P E = P F$ ， $P M = 1$ ．

(1)、求证：直线 $B C / /$ 平面PAD；

(2)、求证：直线 $P C ⊥$ 平面AEMF；

(3)、求平面MDB与平面AEMF所成二面角的正弦值．

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20. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)、经过 $t$ 分钟后游客甲距离地面的高度为 $H$ 米，已知 $H$ 关于 $t$ 的函数关系式满足 $H (t) = A s i n (ω t + φ) + B$ （其中 $A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2}$ ），求摩天轮转动一周的解析式 $H (t)$ ；

(2)、游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？

(3)、若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为 $h$ 米，求 $h$ 的最大值.

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21. 平行四边形ABCD中， $A B = 2 A D = 2$ ， $D B = \sqrt{3}$ ，如图甲所示，作 $D E ⊥ A B$ 于点E．将△ADE沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．

(1)、设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；

(2)、当四棱锥 $P - B C D E$ 的体积最大时，求二面角 $P - B C - D$ 的正切值；

(3)、在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．

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22. 已知区间D，若两个函数 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 对任意 $x \in D$ 都有 $\frac{f (x)}{g (x)} > k$ （其中 $k > 0$ ， $g (x) \neq 0$ ），则称函数 $y = f (x)$ 是 $y = g (x)$ 在区间D上的超k倍函数.

(1)、已知命题“区间 $D = (1 ， 5]$ ，函数 $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3$ 是 $g (x) = x - 1$ 在区间D上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；

(2)、若函数 $f (x) = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 是 $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ 在 $R$ 上的超k倍函数，求实数k的取值范围；

(3)、已知区间 $D = [1 ， 2]$ ，常数 $c > 1$ ，若函数 $F (x) = c^{2 x} - c^{- 2 x}$ 是 $G (x) = c^{x} - c^{- x}$ 在区间D上的超4倍函数，求实数c的取值范围.

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