湖南省张家界市普通高中2021-2022学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $1 - 3 i$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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2. 能反映一组数据的离散程度的是（）.

A、众数 B、平均数 C、中位数 D、方差

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3. 在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为（）

A、0.49 B、49 C、0.51 D、51

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， - 4)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ （）

A、平行且同向 B、平行且反向 C、垂直 D、不垂直也不平行

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5. 下列命题错误的是（）

A、过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 B、过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 C、过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直 D、过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

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6. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．已知在阳马P-ABCD中，侧棱 $P A ⊥$ 底面ABCD，且 $P A = A B = A D = 1$ ，则直线PD与平面PAC所成角的正弦值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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8. 如图，在梯形ABCD中， $A D / / B C$ ， $A D = \frac{3}{2}$ ， $B C = 9$ ， $A B = 5$ ， $c o s B = \frac{3}{5}$ ，若M，N是线段BC上的动点，且 $| \vec{M N} | = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、 $\frac{63}{4}$ D、 $\frac{35}{2}$

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二、多选题

9. 下列关于向量的命题中为真命题的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $\vec{A B} + \vec{B A} = \vec{0}$ C、若 $\vec{m} = \vec{n}$ ， $\vec{n} = \vec{k}$ ，则 $\vec{m} = \vec{k}$ D、 $| \vec{a} + \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$

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10. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论正确的有（）．

A、月接待游客量逐月增加 B、年接待游客量逐年增加 C、各年的月接待游客量高峰期大致在7—8月 D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

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11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$ ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

A、2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$ B、2个球不都是红球的概率为 $\frac{1}{3}$ C、至少有1个红球的概率为 $\frac{2}{3}$ D、2个球中恰有1个红球的概率为 $\frac{1}{2}$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E是棱DD₁的中点，F在侧面CDD₁C₁上运动，且满足 $B_{1} F / /$ 平面A₁BE．则下列命题中正确的有（）

A、侧面CDD₁C₁上存在点F，使得 $B_{1} F ⊥ C D$ B、直线B₁F与直线CD₁所成角可能为 $60 °$ C、三棱锥A₁-BEF的体积为定值 D、设正方体棱长为1，则过点E，F，A的平面截正方体所得的截面面积最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. i+i²+i³+i⁴= ．

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14. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
视频率为概率，如果这名运动员只射击一次，则他命中的环数小于9环的概率为．

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15. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则 $\frac{m}{n} =$ ．

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16. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $a s i n \frac{A + C}{2} = b s i n A$ ， $c = 2$ ，则B； $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ，向量 $\vec{b} = (x ， 1)$ ．

(1)、当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，求实数x的值；

(2)、当 $x = 3$ 时，求向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角．

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18. 已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m + 3) i (m \in R)$ 在复平面内对应的点为Z．

(1)、若 $m = 2$ ，求 $z \cdot \bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为z的共轭复数）；

(2)、若点Z在直线 $y = x$ 上，求 $| z |$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知 $a = 2 \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{13}$ ， $C = 45 °$ ．

(1)、求 $s i n A$ 的值；

(2)、求b的值．

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20. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18．现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．

(1)、求从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；

(2)、将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅ ， A₆ ，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设事件A为“编号为A₃和A₆的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．

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21. 某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．

(1)、求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；

(2)、根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；

(3)、决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为 ${\bar{x}}_{1} = 8.4$ ， $S_{1}^{2} = 0.015$ ，媒体得分的平均数和方差分别为 ${\bar{x}}_{2} = 8.8$ ， $S_{2}^{2} = 0.054$ ，大众得分的平均数和方差分别为 ${\bar{x}}_{3} = 9.4$ ， $S_{3}^{2} = 0.064$ ，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．
附：方差 $S^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ ．

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A D ⊥ A B$ ， $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点E为棱PC的中点．

(1)、证明： $B E / /$ 平面PAD；

(2)、若F为棱PC上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求三棱锥F-ABD的侧面FBD与底面ABCD所成二面角的余弦值．

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命中环数	6	7	8	9	10
频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2