湖南省永州市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $2 - i$ 的共轭复数是（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. 已知 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = \sqrt{2} ， A = \frac{π}{4} ， s i n B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中 $A B = A C = 2$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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5. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 10$ ，则 $A B =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{21}$ C、5 D、 $\sqrt{41}$

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6. 已知一组数据为30，40，50，50，55，60，70，80，90，则其极差、第50百分位数和众数的大小关系是（）

A、极差 $>$ 第50百分位数 $>$ 众数 B、众数 $>$ 第50百分位数 $>$ 极差 C、极差 $>$ 众数 $>$ 第50百分位数 D、极差 $=$ 第50百分位数 $=$ 众数

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7. 《九章算术》中，将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图所示，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱锥 $A_{1} - A B C D$ 即为阳马，已知 $A A_{1} = 2 A B = 2 B C = 2$ ，则阳马 $A_{1} - A B C D$ 的表面积为（）

A、 $2 + \sqrt{5}$ B、 $3 + \sqrt{5}$ C、 $3 + 2 \sqrt{5}$ D、 $4 + 2 \sqrt{5}$

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8. 已知 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上的一点， $| \vec{A P} | = 3$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A C} = 2$ ， $\vec{A P} \cdot \vec{A B} = 1$ ，则 $| \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A P} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、16

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二、多选题

9. 若复数 $z_{1} = 2 i - 3$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、 $z_{1}$ 在复平面内对应的点位于第三象限 B、若 $z_{1} + a (a \in R)$ 是纯虚数，那么 $a = 3$ C、 $z_{1} \cdot z_{2} = - 1 + 5 i$ D、若 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 在复平面内对应的向量分别为 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ （ $O$ 为坐标原点），则 $| \vec{A B} | = 2 \sqrt{5}$

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10. 在下列关于概率的命题中，正确的有（）

A、若事件A，B满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则A，B为对立事件 B、若事件A与B是互斥事件，则A与 $\bar{B}$ 也是互斥事件 C、若事件A与B是相互独立事件，则A与 $\bar{B}$ 也是相互独立事件 D、若事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ，则A，B相互独立

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11. $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c o s A} = \frac{b}{s i n B}$ ，则 $A = \frac{π}{4}$ B、若 $s i n 2 A = s i n 2 B$ ，则此三角形为等腰三角形 C、若 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $A = 30 °$ ，则解此三角形必有两解 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $s i n A + s i n B > c o s A + c o s B$

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12. 如图，在棱长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为定值 B、过 $P$ 作直线 $l / / A D_{1}$ ，则 $l ⊥ D P$ C、过A，P， $D_{1}$ 三点的平面截此正方体所得的截面图形可能为五边形 D、三棱锥 $P - A_{1} D D_{1}$ 的外接球的半径的取值范围是 $[\frac{3 a}{4} ， \frac{\sqrt{3} a}{2}]$

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三、填空题

13. 在中国共产主义青年团建团100周年之际，某高中学校计划选派60名团员参加“文明劝导”志愿活动，高一、高二、高三年级的团员人数分别为100，200，300，若按分层抽样的方法选派，则高一年级需要选派的人数为

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14. 在直角三角形 $A B C$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $∠ B = 90 °$ ，将此三角形绕直线 $A C$ 旋转一周，所得几何体的体积为

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15. 定义平面非零向量之间的一种运算“ $*$ ”，记 $\vec{a} * \vec{b} = \vec{a} c o s θ + \vec{b} s i n θ$ （其中 $θ$ 是非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角）．若 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 均为单位向量，且 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ ，则 $| \vec{e_{1}} * (\sqrt{3} \vec{e_{2}}) | =$ ．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A s i n C$ ，则 $2 t a n \frac{B}{2} + \frac{1}{t a n C}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ；

(2)、若 $∠ D A B = 60 °$ ， $| \vec{A B} | = 6$ ， $| \vec{A D} | = 3$ ，求 $\vec{A E}$ 与 $\vec{B E}$ 的夹角．

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18. 中国神舟十三号载人飞船于2022年4月16日圆满完成飞行任务，神舟十三号的成功又一次激发了广大中学生对于航天的极大兴趣. 某校举行了一次主题为“航天梦，强国梦”的知识竞赛活动，用简单随机抽样的方法，在全校选取100名同学，按年龄大小分为大龄组甲和小龄组乙两组，每组各50人，所有学生竞赛成绩均在60~100之间，甲组竞赛成绩的频率分布表和乙组竞赛成绩的频率分布直方图，如下图所示．
组号
组
频数
频率
第一组
$[60 ， 70)$
5
0.1
第二组
$[70 ， 80)$
a
b
第三组
$[80 ， 90)$
15
0.3
第四组
$[90 ， 100]$
10
0.2

(1)、求a，b，x的值；

(2)、若以平均分为依据确定小组成绩的优劣，你认为哪个小组成绩更优？请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若成绩不低于90分的同学称为“航天追梦者”，以选取的100名同学作为样本，试估计该校2000名学生中“航天追梦者”的人数．

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19. 如图1，在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $O$ 为线段 $C D$ 的中点；将 $Δ A O D$ 沿 $A O$ 折起到 $Δ A O D_{1}$ 的位置，使得平面 $A O D_{1} ⊥$ 平面 $A B C O$ ，连接 $D_{1} B$ ， $D_{1} C$ ，如图2．

(1)、证明： $O D_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、求点 $O$ 到平面 $A B D_{1}$ 的距离．

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20. 某品牌电脑售后保修期为一年，根据1000台电脑的维修记录资料（保修期内所有电脑维修次数均不超2次），这1000台电脑在保修期内需要维修1次的有300台，需要维修2次的占20%．以这1000台电脑维修次数的频率代替1台电脑维修次数的概率．

(1)、求1台电脑保修期内不需要维修的概率；

(2)、若某人购买2台这个品牌的电脑，2台电脑在保修期内是否需要维修互不影响，如果2台电脑保修期内需要维修的次数总和不超过2次的概率大于0.8，则认为该品牌电脑“值得信赖”，请判断该品牌电脑是否“值得信赖”，并说明理由．

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 是边长为6的菱形， $∠ A B C = 120 °$ ， $P A = P C$ ， $∠ P B D = ∠ P D B = 60 °$ ， $E$ 为线段 $A B$ 上的点，且 $\frac{B E}{A E} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面PBD；

(2)、 $F$ 为线段 $P D$ 上的一点，且 $E F / /$ 平面 $P B C$ ，求 $\frac{P F}{P D}$ 的值及直线 $E F$ 与平面 $A B C D$ 的夹角．

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22. 如图，设 $△ A B C$ 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $D$ 为 $B C$ 的中点，已知 $c = 1$ ， $S_{△ A B C} = 2 c^{2} s i n A$ ．

(1)、若 $A D = \frac{\sqrt{21}}{2}$ ，求 $∠ B A C$ ；

(2)、点 $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的动点，线段 $E F$ 交 $A D$ 于 $G$ ，且 $0 < F C \leq 2$ ， $s i n ∠ B A D = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $\sqrt{3} λ S_{△ A E F} = \vec{A G} \cdot \vec{E F}$ ，求 $λ$ 的最小值．

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组号	组	频数	频率
第一组	$[60 ， 70)$	5	0.1
第二组	$[70 ， 80)$	a	b
第三组	$[80 ， 90)$	15	0.3
第四组	$[90 ， 100]$	10	0.2