湖南省邵阳市新邵县2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-05 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $i^{2} (1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 数据 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4} ， x_{5}$ 的平均值为4， $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的平均值为5，则这八个数的平均值为（）

A、3 B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{35}{8}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $C = 60 °$ ，则c=（）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，若点 $D$ 满足 $\vec{B C} = 3 \vec{D C}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$

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5. 某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门.如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 袋中装有红球3个､白球2个､黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少有一个白球；都是白球 B、至少有一个白球；至少有一个红球 C、至少有一个白球；红､黑球各一个 D、恰有一个白球；一个白球一个黑球

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7. 某兴起小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，塔底C处测得A处的俯角为45°．已知山岭高CD为256米，则塔高BC为（）

A、 $256 (\sqrt{2} - 1)$ 米 B、 $256 (\sqrt{3} - 1)$ 米 C、 $256 (\sqrt{6} - 1)$ D、 $256 (2 \sqrt{3} - 1)$ 米

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8. 如图①所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A D = C D = \sqrt{6}$ ．现将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，并连接 $B D$ ，如图②，只当三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大时，其外接球的体积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $16 π$

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二、多选题

9. 若复数 $z = \frac{5}{i - 2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为-1 B、 $| z | = \sqrt{5}$ C、 $z^{2}$ 为纯虚数 D、 $z$ 的共轭复数为 $2 - i$

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10. 有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{n}$ 和一组样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，…， $y_{n}$ ，如果 $y_{1} = x_{1} + b$ ， $y_{2} = x_{2} + b$ ，…， $y_{n} = x_{n} + b$ ，其中 $b$ 为非零常数，则（）

A、两组样本数据的样本平均数相同 B、两组样本数据的样本方差相同 C、两组样本数据的样本中位数相同 D、两组样本数据的样本极差相同

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11. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (c o s θ ， s i n θ) (θ \in (0 ， π))$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t a n θ = 1$ B、 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值为 $1 + \sqrt{2}$ D、存在唯一的 $θ$ 使得 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$

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12. 已知圆锥的顶点为 $S$ ，底面半径为 $\sqrt{3}$ ，高为1， $A$ ， $B$ 是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（）

A、圆锥的侧面积是 $2 \sqrt{3} π$ B、 $S A$ 与底面所成的角是 $\frac{π}{6}$ C、 $△ S A B$ 面积的最大值是 $\sqrt{3}$ D、该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 已知i是虚数单位，若 $- 2 + i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + p = - 1$ 的一个根，则实数 $p =$ .

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15. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为 $\sqrt{2}$ ，则该圆台的体积为．

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $D$ 在边 $a$ 上，且 $B D = 2 D C$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $A D = 4 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

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四、解答题

17. 已知 $\vec{O A} = (1 ， 2)$ ， $\vec{O B} = (2 ， 1)$ ．

(1)、求向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角的余弦值；

(2)、若点P是线段AB的中点，且向量 $\vec{O P}$ 与 $\vec{O A} + k \vec{O B}$ 垂直，求实数k的值．

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18. 若 $△ A B C$ 的三个内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且 $a = 2$ ， $\cos B = \frac{4}{5}$ .

(1)、若 $b = 4$ ，求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 6$ ，求b、c的值.

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19. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ．假设两人
射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．

(1)、若甲、乙两人各射击一次，求均没有击中目标的概率；

(2)、若甲连续射击，命中为止，求甲恰好射击3次结束射击的概率；

(3)、若乙连续射击，直至命中2次为止，求乙恰好射击3次结束射击的概率．

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20. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B_{1} D_{1} M ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求证： $M N //$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ．

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21. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试(满分：100分)，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值；

(2)、估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；

(3)、该社区在参加问卷且测试成绩位于区间 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100]$ 的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件 $A =$ “两人的测试成绩分别位于 $[80 ， 90)$ 和 $[90 ， 100]$ ”，求 $P (A)$ .

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22. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A B = A D$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $O A ⊥ B C$ ；

(2)、若 $△ O C D$ 是边长为3的等边三角形，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $\vec{D E} = 2 \vec{E A}$ 且三棱锥 $A - B C D$ 的体积是 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ ，试求二面角 $E - B C - D$ 的大小.

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