陕西省西北农林科大附高2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-08-05 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.）

1. 在0~360°的范围内，下列与-510°终边相同的角是（）

A、330° B、210° C、150° D、30°

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2. 若 $- \frac{π}{2} < α < 0$ ，则点 $P (\tan α ， \cos α)$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 化简 $\vec{P M} - \vec{P N} + \vec{M N}$ ，所得的结果是（）

A、 $\vec{0}$ B、 $\vec{N P}$ C、 $\vec{M P}$ D、 $\vec{M N}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 8)$ ， $\vec{b} = (2^{x} ， 4)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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5. 若AD是△ABC的中线，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A D}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b})$ C、 $\frac{1}{2} (- \vec{a} + \vec{b})$ D、 $\frac{1}{2} (\vec{a} - \vec{b})$

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6. 函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象的对称轴方程可以为（）

A、 $x = \frac{π}{12}$ B、 $x = \frac{5 π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = \frac{π}{6}$

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7. 已知 $s i n (\frac{π}{4} + α) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $s i n (\frac{3 π}{4} - α)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 若向量 $\vec{a} = (1 ， \cos θ)$ 与 $\vec{b} = (- 1 ， 2 \cos θ)$ 垂直，则 $\cos 2 θ$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、0

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9. 函数 $f (x) = t a n (x + \frac{π}{4})$ 的单调递增区间为（）

A、 $(k π - \frac{π}{2} ， k π + \frac{π}{2}) (k \in Z)$ B、 $(k π ， k π + π) (k \in Z)$ C、 $(k π - \frac{3 π}{4} ， k π + \frac{π}{4}) (k \in Z)$ D、 $(k π - \frac{π}{4} ， k π + \frac{3 π}{4}) (k \in Z)$

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10. 将函数 $y = \sin (x - \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到的图象对应的解析式为（）

A、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$ B、 $y = \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{2})$ C、 $y = \sin \frac{1}{2} x$ D、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 若 $\frac{\cos 2 α}{\sin (α - \frac{π}{4})} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\cos α + \sin α$ 的值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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12. $(1 + \tan 21 °) (1 + \tan 22 °) (1 + \tan 23 °) (1 + \tan 24 °)$ 的值是（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13. 如果圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形所对的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则扇形的面积为.

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14. 已知向量 $\vec{O C}$ =（2，2）， $\vec{C A}$ =（ $\sqrt{2}$ cosα， $\sqrt{2}$ sinα），则向量 $\vec{O A}$ 的模的最大值是

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15. 已知在 $△ A B C$ 中， $3 \sin A + 4 \cos B = 6$ ， $4 \sin B + 3 \cos A = 1$ ，则角C的大小为.

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16. 给出下列命题：
①函数 $y = \sin | x |$ 不是周期函数；

②函数 $y = \tan x$ 在定义域内为增函数；

③函数 $y = | \cos 2 x + \frac{1}{2} |$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ；

④函数 $y = 4 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ .

其中正确命题的序号是.

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三、解答题（本大题共6个小题，共70分.）

17. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是不共线的两个非零向量．

(1)、若 $\vec{O A} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 3 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，求证：A、B、C三点共线；

(2)、若 $8 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求实数k的值．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ．

(1)、求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ ；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 方向上的投影．

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19. 已知 $\frac{\tan α}{\tan α - 1} = - 1$ .

(1)、 $\frac{\sin α - 3 \cos α}{\sin α + \cos α}$ ；

(2)、 $\sin^{2} α + \sin α \cos α + 2$ .

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20. 求证：

(1)、 $s i n θ (1 + c o s 2 θ) = s i n 2 θ \cdot c o s θ$ ；

(2)、 $\frac{t a n (α + β) - t a n α}{1 + t a n α \cdot t a n (α + β)} = \frac{s i n 2 β}{2 c o s^{2} β}$ ．

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21. 如图，函数 $y = 2 s i n (π x + φ)$ ， $x \in R$ 其中 $0 \leq φ \leq \frac{π}{2}$ 的图象与y轴交于点 $(0 ， 1)$ ．

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、求函数 $y = 2 s i n (π x + φ)$ 的单调递增区间；

(3)、求使 $y \geq 1$ 的x的集合．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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