湖南省衡阳市部分校2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ x (x - 1) = 0} ， B = {x ∣ x^{2} = 1}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${1 ， 0}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、{1}

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2. 下列调查中，调查方式选择合理的是（）

A、了解某市高一年级学生的身高情况，选择普查 B、了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查 C、了解一批待售袋装牛奶的细菌数是否达标，选择普查 D、了解一批炮弹的杀伤力，选择抽样调查

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3. 若一个圆锥的底面面积为 $π$ ，其侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\sqrt{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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4. 袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）
①A与B是互斥但不对立事件②B与C是对立事件③A与C是互斥但不对立事件

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则 $\vec{D F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$

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6. “ $\frac{x}{x + 1} ⩾ 2$ ”是“ $x^{2} + 3 x + 2 ⩽ 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 科学记数法是一种记数的方法.把一个数 $x$ 表示成 $a$ 与10的 $n$ 次幂相乘的形式，其中 $1 ⩽ a < 10 ， n \in N$ .当 $x > 0$ 时， $l g x = n + l g a$ .若一个正整数 $m$ 的16次方是12位数，则 $m$ 是（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 已知 $△ A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的表面上，若 $A B = 2 ， ∠ A C B = \frac{π}{4}$ ，球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，则点 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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二、多选题

9. 已知 $m ， n \in R$ ，复数 $z_{1} = m + 3 i ， z_{2} = z_{1} + 4 - 2 i$ ，且 $z_{2}$ 为纯虚数，复数 $z_{1}$ 的共轭复数为 $\bar{z_{1}}$ ，则（）

A、 $m = - 4$ B、 $| z_{2} | = 2$ C、 $\bar{z_{1}} = - 4 - 3 i$ D、复数 $\bar{z_{1}}$ 的虚部为 $- 3 i$

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10. 已知向量 $\vec{a} = (m ， - 2)$ ， $\vec{b} = (3 ， m + 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是与 $\vec{a}$ 同向的单位向量，则（）

A、 $m = 2$ B、 $\vec{b} = (3 ， 2)$ C、 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{26}$ D、 $\vec{c} = (\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$

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11. 如图，这是一个正方体的平面展开图， $P ， Q ， G ， H$ 分别是棱 $A B ， B C ， E N ， A E$ 的中点，则在该正方体中（）

A、 $P H ∥ G Q$ B、 $G H$ 与 $B C$ 是异面直线 C、 $G H ， P Q ， A D$ 相交于一点 D、 $Q G ⊥ B N$

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12. 设函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上有且仅有4个零点，则（）

A、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{19}{6} ， \frac{25}{6})$ B、 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 在 $(0 ， π)$ 上的交点恰有2个 C、 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = - 1$ 在 $(0 ， π)$ 上的交点恰有2个 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减

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三、填空题

13. 某机构组织填写关于环境保护的知识答卷（满分100分），从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为.

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14. 已知 $t a n (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{s i n θ + c o s θ}{s i n θ - c o s θ} =$ .

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15. 已知 $a ， b \in R ， a + 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x + b = 0$ 的根，则 $a + b =$ .

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16. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则 $(\vec{P A} + \vec{P B}) \cdot (\vec{P E} + \vec{P F})$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图像，求 $g (x)$ 的解析式．

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18. 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位： $c m$ ）按 $[140 ， 150) ， [150 ， 160) ， [160 ， 170) ， [170 ， 180) ， [180 ， 190]$ 分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图

(1)、求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)、在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在 $[150 ， 170)$ 的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160 $c m$ 的概率.

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19. 在① $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ；② $\vec{m} \cdot \vec{n} = 2 a c o s B$ 两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， \vec{m} = (c o s A ， c o s B) ， \vec{n} = (b ， a)$ ， ____.

(1)、若 $C = \frac{π}{3}$ ，求A；

(2)、已知 $c = 2 ， c o s C = \frac{4}{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} (6^{x} + m \cdot 5^{x})$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $f (x) \leq 2$ 对任意的 $x \in [0 ， 1]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P = P D = D C = 2$ ， $A B = \sqrt{11}$ ， $∠ A D C = ∠ A P D = 90 °$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD．

(1)、证明： $A P ⊥$ 平面PDC．

(2)、若E是棱PA的中点，且 $B E$ $/ /$ 平面PCD，求点D到平面PAB的距离．

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22. 甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、比赛完3场时，求三人各胜1场的概率；

(2)、比赛完5场时，求丙恰好有一次两连胜的概率.

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