湖北省襄阳市普通高中2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2 i}{1 + i} - i =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、1 D、-1

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2. 某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = m \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， A，B，C三点共线，则m＝（）

A、－ $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、－6 D、6

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4. 已知 $α$ 为锐角， $s i n (\frac{π}{4} - α) = - \frac{3}{5}$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$

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5. 某校为了了解高一年级200名女学生的体能情况，随机抽查了其中的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高一年级女生仰卧起坐次数的中位数一定位于（）

A、[15，20 ] B、[20，25] C、[25，30] D、[30，35]

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6. 已知三个平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，其中 $α ∩ β = a$ ， $β ∩ γ = b$ ， $γ ∩ α = c$ ，且 $a ∩ b = P$ ，则下列结论一定成立的是（）

A、b，c是异面直线 B、 $b ∩ c = P$ C、 $b ∥ c$ D、a与c没有公共点

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7. 将函数 $f (x) = s i n^{2} (\frac{5 π}{12} - x) - s i n^{2} (x + \frac{π}{12})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 满足 $g (\frac{π}{6} - x) = g (\frac{π}{6} + x)$ ，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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8. $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ， PQ为 $△ A B C$ 内切圆的一条直径，M为 $△ A B C$ 边上的动点，则 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[1 ， 4]$ C、 $[0 ， 9]$ D、 $[1 ， 9]$

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二、多选题

9. 已知复数 $z = 3 - 4 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则下列命题中正确的为（）

A、 $| z | = 5$ B、 $z$ 的虚部是4 C、 $z - 3$ 是纯虚数 D、 $z$ 在复平面上对应点在第四象限

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10. 一组样本数据 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的平均数为 $\bar{x} (\bar{x} \neq 0)$ ，标准差为s．另一组样本数据 $x_{n + 1} ， x_{n + 2} ， \dots ， x_{2 n}$ ，的平均数为 $3 \bar{x}$ ，标准差为s．两组数据合成一组新数据 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{n} ， x_{n + 1} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{2 n}$ ，新数据的平均数为 $\bar{y}$ ，标准差为 $s^{'}$ ，则（）

A、 $\bar{y} > 2 \bar{x}$ B、 $\bar{y} = 2 \bar{x}$ C、 $s^{'} > s$ D、 $s^{'} = s$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，中， $E$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A_{1} C$ （不含端点）上的一个动点，那么在点 $P$ 的运动过程中，下列说法中正确的有（）

A、存在某一位置，使得直线 $P E$ 和直线 $B B_{1}$ 相交 B、存在某一位置，使得 $B C / /$ 平面 $A E P$ C、点 $A_{1}$ 与点 $B_{1}$ 到平面 $P B E$ 的距离总相等 D、三棱锥 $C_{1} - P B E$ 的体积不变

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12. 定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ．我们把数量 $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot s i n θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $| \vec{a} \times \vec{b} |$ ，即 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot s i n θ$ ．则下列命题中正确的有（）

A、若平行四边形ABCD的面积为4，则 $| \vec{A B} \times \vec{A D} | = 4$ B、在正△ABC中，若 $\vec{A D} = | \vec{A B} \times \vec{A C} | (\vec{A B} + \vec{A C})$ ，则 $\frac{| \vec{A D} |}{{| \vec{B C} |}^{3}} = 3$ C、若 $| \vec{a} \times \vec{b} | = \sqrt{3} ， \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ 的最小值为2 $\sqrt{3}$ D、若 $| \vec{a} \times \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{b} \times \vec{c} | = 2$ ，且 $\vec{b}$ 为单位向量，则 $| \vec{a} \times \vec{c} |$ 的值可能为 $2 + 2 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ 在向量 $\vec{b} = (3 ， 4)$ 方向上的投影向量的模为．

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14. 若虚数单位 $i$ 是关于x的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a ， b \in R)$ 的一个根，则 $| a - b i | =$ ．

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15. 已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的上下底面均为正三角形， $A B = 1$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ，侧棱长 $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1}$ ，若 $A A_{1} ⊥ B B_{1}$ ，则此棱台的高为．

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16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $b = 2 \sqrt{2}$ ，且 $3 b c o s A + 2 a c o s B = a s i n B$ ，则△ABC的面积的最大值为．

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四、解答题

17. 已知 $s i n (x + \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$ ， $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $t a n 2 x$ 的值；

(2)、求 $2 c o s^{2} (x + π) + c o s (2 x - \frac{π}{2})$ 的值.

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18. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 1)$ ．

(1)、若 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求k的值；

(2)、若 $θ$ 为 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角，求 $θ$ 的值．

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19. 设复数 $z_{1} = 1 - i$ ， $z_{2} = c o s θ + i s i n θ$ ，其中 $θ \in [0 ， π]$ .

(1)、若复数 $z = \bar{z_{1}} \cdot z_{2}$ 为实数，求 $θ$ 的值；

(2)、求 $| z_{1} + z_{2} |$ 的取值范围．

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20. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表：
质量指标值
$[25 ， 35)$
$[35 ， 45)$
$[45 ， 55)$
$[55 ， 65)$
$[65 ， 75)$
$[75 ， 85)$
$[85 ， 95)$
产品（单位：件）
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计产品的某项质量指标值的70百分位数；

(2)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

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21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， D为AC边上的一点， $B D = 1$ ，且______________，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．

①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．

（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）

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22. 如图，在四棱锥E－ABCD中， $A D ⊥ C D ， D A = D C = D E = 2 ， E A = E C = 2 \sqrt{2}$ ， M是EA的中点．

(1)、证明：AE⊥平面 $M C D$ ；

(2)、若平面EAB $∩$ 平面 $E C D = l$ ，且 $l / / A B$ ，三棱锥 $M - B C E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ ，求AB的长．

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质量指标值	$[25 ， 35)$	$[35 ， 45)$	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$	$[75 ， 85)$	$[85 ， 95)$
产品（单位：件）	60	100	160	300	200	100	80