湖北省咸宁市2021-2022学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-08-04 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2} ， B = {x | y = l n (x - 1)}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(0 ， + ∞)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 某社区卫生室为了了解该社区居民的身体健康状况，对该社区1100名男性居民和900名女性居民按性别采用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取了一个容量为100的样本，则应从男性居民中抽取的人数为（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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3. 欧拉公式 $e^{i θ} = c o s θ + i s i n θ$ 把自然对数的底数 $e$ 、虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数 $z = e^{i \cdot 2022 π} - \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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4. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面， $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线，下列命题正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ α$ C、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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5. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 5$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 6$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、6 B、8 C、36 D、64

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6. 一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间的距离为（）

A、 $10 \sqrt{2}$ 海里 B、 $15 \sqrt{6}$ 海里 C、 $10 \sqrt{6}$ 海里 D、30海里

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7. 已知 $a = l n 2$ ， $b = l n 3$ ， $c = l o g_{3} 2$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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8. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) + k (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，将 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{2 π}{3})$ 上的值域为（）

A、 $(0 ， 3]$ B、 $[- 1 ， 2)$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $(- 1 ， 3)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x)$ 单调递减，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x \geq 0$ 时， $f (x)$ 单调递减 C、当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x f (x) \leq 0$

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10. 近年，随着人工智能，AIoT，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司IDC统计了2016~2020年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（）

A、2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加 B、2016~2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降 C、2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7 D、2015年，全球产生的数据量超过15 $Z B$

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11. 坛子是我们日常生活中耳熟能详的生活用品，一般指用陶土做胚子烧成的用来腌制菜品或盛放物品的器物 $.$ 如图，某坛子的主体部分 $($ 坛身 $)$ 可以看作是由上下两个同底的圆台烧制而成的，其中 $B E = 2 A F = 2 C D = 2 d m$ ， $B C = 2 A B$ ，且该坛子的容积为 $10.5 π$ 升，则（）
注：若圆台的上、下底面半径分别为 $r$ ， $R$ ，高为 $h$ ，母线为 $l$ ，则圆台的体积 $V = \frac{1}{3} π h (r^{2} + R^{2} + r R)$ ，侧面积 $S = π l (R + r)$ ．

A、下圆台的体积为 $7 π$ 升 B、下圆台的表面积 $($ 含上下圆台同底的部分 $)$ 为 $3 \sqrt{10} π d m^{2}$ C、直线 $E F$ 与圆台底面所在平面所成的角为 $60 °$ D、若在该坛子内封装一个圆柱，则圆柱的侧面积最大为 $9 π d m^{2} ($ 不考虑能否放入和容器厚度 $)$

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12. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 a - c = \frac{c o s C}{c o s B}$ ， $b = 1$ ， $\frac{1}{t a n A} + \frac{1}{t a n C} = 2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $a c = 1$ B、 $B = \frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{3} + 1$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = (3 - 4 i) (2 - i)$ ，则 $z$ 的虚部为．

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14. 在直角坐标系中水平放置的直角梯形 $O A B C$ ，如图所示，已知 $O$ 为坐标原点， $A (2 \sqrt{2} ， 0)$ ， $B (2 \sqrt{2} ， 2)$ ， $C (0 ， 6) .$ 在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的周长为．

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15. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{∘}$ ， $A C = 2 A B = 2$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，则 $\vec{C E} \cdot \vec{B F}$ 的最大值为．

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16. 已知函数 $f (x)$ $= {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， x \geq 0 ， \\ a x^{2} + x + a ， x < 0 \end{array}$ 恰有2个零点，则 $a =$ ．

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四、解答题

17. 计算：

(1)、 $4^{l o g_{2} 3} + l o g_{2} \frac{1}{4} ；$

(2)、 $\sqrt{(- \frac{1}{8})^{\frac{2}{3}}} + \sqrt[3]{2} \times 6 4^{\frac{1}{9}}$ ．

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18. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (m ， - 4)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (- 2 \vec{a})$ ，求 $m$ 的值 $；$

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，求 $m$ 的取值范围．

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19. 在条件① $2 c c o s B - b c o s A - a c o s B = 0$ ， ② $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ (其中 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积)中任选一个，补充在下面的横线上，然后解答补充完整的题目．
已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别是 $a ， b ， c$ ，且____．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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20. 某社区80名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩 $($ 满分100分 $)$ 进行统计，将数据按 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分为4组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、试估计这80名居民竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(3)、该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的20%的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民的分数不超过多少 $\cdot$

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ⊥ D C ， A D ⊥ A B ， C D = 2 A B = 2 A D ， E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $A E$ $∥$ 平面 $P B C$ .

(2)、若二面角 $P - B C - D$ 的正切值为 $\sqrt{2}$ ，求二面角 $B - A E - C$ 的正弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (\frac{1}{2} ω x) c o s (\frac{1}{2} ω x + φ)$ ， $ω > 0$ ， $| φ | \leq \frac{π}{2}$ ．

(1)、当 $ω = 2$ ， $φ = \frac{π}{3}$ 时，
①求 $f (x)$ 的单调递增区间 $；$
②当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，关于 $x$ 的方程 $10 [f (x)]^{2} - (10 m + 1) f (x) + m = 0$ 恰有4个不同的实数根，求 $m$ 的取值范围．

(2)、函数 $g (x) = f (x) + s i n φ$ ， $x = - \frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 的零点，直线 $x = \frac{π}{4}$ 是 $g (x)$ 图象的对称轴，且 $g (x)$ 在 $(\frac{π}{18} ， \frac{5 π}{36})$ 上单调，求 $ω$ 的最大值.

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